Elektromágneses négyespotenciál

Az elektromágneses négyespotenciál egy relativisztikus vektorfüggvény, amelyből az elektromágneses mező levezethető. Az elektromos skalárpotenciál és mágneses vektorpotenciál kombinációjából adódik.

Egy adott vonatkoztatási rendszerben mérve és egy adott mértékegységrendszerben az elektromágneses négyespotenciál első komponensét szokásosan az elektromos skalárpotenciálnak tekintjük, a másik három komponens pedig a mágneses vektorpotenciált alkotja. Míg mind a skaláris, mind a vektorpotenciál függ a vonatkoztatási rendszertől, az elektromágneses négyespotenciál Lorentz-invariáns.

Más potenciálokhoz hasonlóan sokféle elektromágneses négyespotenciál felel meg ugyanarra az elektromágneses mezőnek, a mérték kiválasztásától függően.

Ez a cikk a tenzor indexes jelölését és a Minkowski-metrikus előjel-konvenciót használja Sablon:Nowrap . A képletek SI-egységekben és gaussi CGS-egységekben is meg vannak adva.

Meghatározás

Az elektromágneses négyespotenciál a következőképpen határozható meg:

SI-egységek	Gaussi egységek
$A^{\alpha }=(\varphi /c,𝐀)$	$A^{\alpha }=(\varphi ,𝐀)$

amelyben ϕ az elektromos skalárpotenciál és A a mágneses vektorpotenciál. Az A ^α egységei V · s · m ⁻¹ SI-ben, Mx · cm ⁻¹ CGS-ben.

A négyespotenciálhoz kapcsolódó elektromos és mágneses mezők a következők:

SI-egységek	Gaussi egységek
$𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$	$𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$
$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$	$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

A speciális relativitáselméletben az elektromos és mágneses mezők Lorentz-transzformációk alatt átalakulnak. Az elektromágneses tenzor:

$F^{\mu \nu }={\partial }^{\nu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]$

Lorenz-mértékben

Gyakran ${\partial }_{\alpha }{A}^{\alpha }=0$, ezzel a Maxwell-egyenletek egyszerűsödnek:

SI-egységek	Gaussi egységek
$◻A^{\alpha }={\mu }_0{J}^{\alpha }$	$◻A^{\alpha }=\frac{4\pi }{c}{J}^{\alpha }$

ahol J ^α a komponensek a négyesáram, és a

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$

a D’Alembert-i operátor. A skalár- és vektorpotenciálokat tekintve az utolsó egyenlet így alakul:

SI-egységek	Gaussi egységek
$◻\varphi =\frac{\rho }{{ϵ}_0}$	$◻\varphi =4\pi \rho$
$◻𝐀={\mu }_0𝐣$	$◻𝐀=\frac{4\pi }{c}𝐣$

Egy adott töltés- és árameloszlás Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap esetén az egyenletek megoldása SI-egységekben:

$\varphi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int {\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int {\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\frac{𝐣({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|},$

ahol

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

a késleltetett idő.

Kapcsolódó szócikk

• Minkowski-tér

Hivatkozások

• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Sablon:Hivatkozás/Könyv