Differenciál

Sablon:Nincs forrás Sablon:Más A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely az eredeti függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos, mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ez esetben vagy beletörődünk, hogy a „végtelen kis mennyiség” kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

Definíció

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatósága egyenértékű a következőkkel:

1. létezik olyan ε (az f értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik a-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
2. van olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

$f(x)=f(a)+A\cdot (x-a)+\epsilon (x)\cdot (x-a)$

Az iménti képletben az ε(x)$\cdot$(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (x–a)² hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

$f(a)+A\cdot (x-a)$

és egy nemlineáris maradék részre:

$\epsilon (x)\cdot (x-a)$

Ha az f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

$f^{\prime }(x)=A+{\epsilon }^{\prime }(x)\cdot (x-a)+\epsilon (x)$

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. Az A szám tehát a derivált, az x–a=h helyettesítéssel nyert

$\mathrm{d}f(a):h\mapsto A\cdot h$

(homogén) lineáris leképezést pedig az f függvény a-beli differenciáljának nevezzük.

Jelölések

Az a pontban az f függvény, vagy más néven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

$df(a)$ vagy $df{|}_{x=a}$ vagy $dy{|}_{x=a}$

jelöli. A független változó differenciálját, ahogyan az x – a különbséget nevezik

$dx$

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

$f(x)=f(a)+df(a)+\epsilon \cdot dx$

ahol mind df(a), mind ε függ x-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

$\mathrm{\Delta }f=f(x+dx)-f(x)=df+\epsilon \cdot dx$

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

$\frac{df(a)}{dx}=\frac{f^{\prime }(a)\cdot (x-a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

Geometriai jelentése

Rajzoljuk meg a függvénygörbe valamely P pontjához az érintőt (ez az ábrán a PS szakasz egyenese, ami egyben egy lineáris függvény grafikonja is)! A vízszintes tengelyen egy tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket veszi fel, míg az azt közelítő lineáris függvény az f(x)+dy értéket (S pont). Ha dx → 0, az f(x+dx)–f(x) különbség határértékben egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk.

Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

A $\frac{dy}{dx}$ hányados a görbe P pontjában húzott érintő egyenes meredeksége, egyben az f függvény x helyen vett deriváltja.

Magasabbrendű differenciálok

Másodrendű differenciál

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az x $\mapsto$ ε(x) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(a)+f^{″}(a)\cdot (x-a)+\delta (x)\cdot (x-a)$

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

$d^{2}f(a)=f^{″}(a)\cdot (x-a{)}^2$

Természetesen ekkor a szokásos dx = x – a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

$\frac{d^{2}f(a)}{d{x}^2}=f^{″}(a)$

A másodrendű differenciált is figyelembe véve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó x$\mapsto$η(x) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+(B\cdot (x-a)+\eta (x)\cdot (x-a))\cdot (x-a)$

azaz

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+(B+\eta (x))(x-a{)}^2$

Ezt kétszer deriválva a-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:

$2B\equiv f^{″}(a)$

Vagyis a függvény megváltozása:

$\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)=df(a)+\frac{1}{2}{d}^{2}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a{)}^2$

ahol ξ(x) nullához tart, ha x tart a-hoz.

Magasabb rendű differenciálok

A fentiekhez hasonlóan a-ban n-szer differenciálható f esetén definiálható az n-ed rendű differenciál, melynek jelölése

$d^{n}f(a)$

és melyre teljesül:

$\frac{d^{n}f(a)}{d{x}^n}=f^{(n)}(a)$

ahol f ⁽ⁿ⁾(a) az f függvény a pontbeli n-edik deriváltja.

Belátható, hogy n-szer differenciálható függvény esetén a függvénynövekményt a Taylor-sorhoz hasonló alakban kapjuk:

$\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)=$

$=df(a)+\frac{1}{2}{d}^{2}f(a)+\frac{1}{6}{d}^{3}f(a)+...+\frac{1}{n!}{d}^{n}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a{)}^n=$

$=(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}{d}^{k}f(a))+\xi (x)\cdot (x-a{)}^n$

Végül valós analitikus függvény esetén a Taylor-sor teljes egészében átírható a függvénynövekmény differenciálokkal történő előállításaként:

$\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}d{}^{n}f(a)$