Ceva-tétel

A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.

Tétel

Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban ($O$), ha

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ .

Ceva-tétel

Bizonyítás

Menelaosz tételével

Használjuk a Menelaosz-tételt az $ABE$ háromszögre:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BO}{OE}\cdot \frac{EC}{CA}=-1$.

Majd ugyanezt a $BCE$ háromszögre:

$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CA}{AE}\cdot \frac{EO}{OB}=-1$.

Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ .

Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel)

A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha

$\frac{\sin DAC\sphericalangle }{\sin DAB\sphericalangle }\cdot \frac{\sin EBA\sphericalangle }{\sin EBC\sphericalangle }\cdot \frac{\sin FCB\sphericalangle }{\sin FCA\sphericalangle }=1$.

Területekkel

Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor

$\frac{BD}{DC}=\frac{t_{ABD}}{t_{ADC}}=\frac{t_{OBD}}{t_{ODC}}=\frac{t_{ABD}-t_{OBD}}{t_{ADC}-t_{ODC}}=\frac{t_{ABO}}{t_{CAO}}$

Hasonlóan kapjuk, hogy

$\begin{array}{cc}\frac{CE}{EA}& =\frac{t_{BCO}}{t_{ABO}}\\ \frac{AF}{FB}& =\frac{t_{CAO}}{t_{BCO}}\end{array}.$

A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:

$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{t_{ABO}}{t_{CAO}}\cdot \frac{t_{BCO}}{t_{ABO}}\cdot \frac{t_{CAO}}{t_{BCO}}=1.$