Menelaosz-tétel

Ábra a Menelaosz-tételhez

A Menelaosz-tétel az alexandriai Menelaosz ógörög matematikus által felhasznált tételek egyike. Valójában ő csak a gömbháromszögekről írott művében csak említést tesz róla, de nála korábbi munkákban nem találkozunk vele, így őt tekintjük a tétel felállítójának.

Tétel

Ha egy tetszőleges Sablon:Math háromszög oldalegyenesére illeszkedő Sablon:Math, Sablon:Math és Sablon:Math pontok egy egyenesen vannak, akkor és csak akkor

$\frac{AM}{MC}\cdot \frac{CE}{EB}\cdot \frac{BN}{NA}=-1$

A tétel bizonyítása

Bizonyítás

$AC$ oldallal párhuzamost húzunk $B$-ből, ez $MEN$ egyenest egy $F$ pontban metszi. Ekkor:

$△AMN\sim △BFN\Rightarrow \frac{AM}{BF}=\frac{NA}{NB}$

és

$△CEM\sim △BEF\Rightarrow \frac{CE}{EB}=\frac{MC}{BF}$

Ezeket összeszorozva kapjuk:

$\frac{AM}{BF}\cdot \frac{CE}{EB}=\frac{NA}{NB}\cdot \frac{MC}{BF}$.

$\frac{AM}{MC}\cdot \frac{CE}{EB}\cdot \frac{NB}{NA}=1$

De $NB=-BN$, ezért $\frac{AM}{MC}\cdot \frac{CE}{EB}\cdot \frac{BN}{NA}=-1$- QED