Aritmetikus számok

A számelmélet területén aritmetikus számnak nevezik az olyan egész számokat, melyek pozitív osztóinak átlaga is egész szám. Például a 6 aritmetikus szám, mert osztóinak átlaga:

$\frac{1+2+3+6}{4}=3,$

ami szintén egész. A 2 viszont nem aritmetikus szám, mert osztóinak (1 és 2) átlaga, a másfél nem egész szám. Minden páratlan prímszám aritmetikus.

Az első néhány aritmetikus szám:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... Sablon:OEIS.

Sűrűségük

Ismert, hogy az aritmetikus számok aszimptotikus sűrűsége 1: valóban, hiszen az X-nél kisebb nem aritmetikus számok aránya aszimptotikusan

$\exp \left(-c\sqrt{\log \log X}\right)$

ahol c = 2 √ log 2 + o(1).

Egy N szám akkor aritmetikus, ha osztóinak száma, d(N) osztója az osztók összegének, σ(N)-nek. Ismert, hogy a szigorúbb feltételnek eleget tevő számok, ahol d(N)² osztja σ(N)-t, éppen 1/2.

Irodalom

• Sablon:Cite book