Üres gráf

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a nullgráf kifejezés utalhat a nulladrendű gráfra vagy bármely élmentes gráfra (melyeket üres gráf néven is említenek).

Nulladrendű gráf

Sablon:Gráf infobox A $K_0$ nulladrendű gráf az egyetlen, csúcsokkal nem rendelkező gráf (ezért a rendje 0). Mivel nincsenek csúcsai, ezért élei sincsenek. Egyes szerzők (definíció szerint vagy csak praktikus okokból) a $K_0$-t nem tekintik gráfnak. Az, hogy a $K_0$-t érvényes gráfnak tekintik-e, általában a kontextuson múlik. A pro érvek közé tartozik, hogy a $K_0$ létezése természetesen következik a gráf fogalmának halmazelméleti megalapozásából (a csúcsok és élek (V, E) rendezett párjai; ebben az esetben mindkét halmaz üres); matematikai bizonyításokban az indukció természetes kiindulópontja, a rekurzívan meghatározott adatstruktúráknál a $K_0$ szintén hasznos a rekurzió alapeseteként (ha a null fát a nem nulla bináris fa hiányzó éleinek ‘gyerek’ csúcspontjaként kezeljük, bármely nem nulla bináris fának pontosan két gyereke van). A kontra érvek közé tartozik, hogy a $K_0$ gráfként kezelésével számos gráftulajdonság képletében külön esetként kell kezelni a nullgráfot (például a „számoljuk meg egy gráf erősen összefüggő komponenseit” kifejezésből „számoljuk meg a gráf nemnulla erősen összefüggő komponenseit” lesz, vagy az összefüggő gráf definícióját kell módosítani úgy, hogy kimaradjon belőle a K₀). A kivételek elkerülése végett a szakirodalomban gyakran a „gráf” fogalmát úgy értik, hogy „legalább egy csúccsal rendelkező gráf”, ha a kontextus nem enged másra következtetni.

A kategóriaelmélet területén a nullgráf, a „gráfok kategóriája” egyes meghatározásaiban a kategória kezdeti objektuma.

A $K_0$, ahogy a $K_1$ (az egy csúccsal és nulla éllel rendelkező gráf) is, a legtöbb alapvető gráftulajdonságnak semmitmondóan eleget tesz. Néhány példa: a $K_0$ mérete nulla, megegyezik komplementerével, $\overline{K_0}$-lal, erdő, síkgráf. Tekinthető irányítatlan vagy irányított gráfnak vagy akár mindkettőnek; ha irányított, akkor irányított körmentes gráf. Egyszerre teljes gráf és élmentes gráf. Az egyes gráftulajdonságok definíciója azonban függ attól, hogy a kontextusban megengedjük-e a $K_0$-t.

Élmentes gráf

Sablon:Gráf infobox Bármely n természetes számhoz tartozik egy n rendű ${\bar{K}}_n$ élmentes gráf, éltelen gráf (vagy üres gráf), mely az n csúcsból és nulla élből álló gráf. Olyan kontextusban, ahol a nulladrendű gráf nem megengedett, nullgráfnak is nevezik.

A ${\bar{K}}_n$ jelölés onnan ered, hogy az n-csúcsú élmentes gráf éppen a $K_n$ teljes gráf komplementere..

Kapcsolódó szócikkek

• Gráfelméleti fogalomtár
• Körgráf
• Útgráf

Források

• Harary, F. and Read, R. (1973), "Is the null graph a pointless concept?", Graphs and Combinatorics (Conference, George Washington University), Springer-Verlag, New York, NY.