Normális eloszlás

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha Sablon:Jelmagyarázat Sablon:Jelmagyarázat Sablon:Jelmagyarázat Sablon:Jelmagyarázat

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}},$

ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

$X\sim 𝒩(m,{\sigma }^2).$

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{(t-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}dt(=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)$

Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)=e^{itm-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$

Sűrűségfüggvényének tulajdonságai

• Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
• Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.

• $(\mathrm{\forall }x\in ℝ)f(x)>0$

• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$
• Folytonos függvény.

A normális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$𝐄(X)=m$

Szórása

$𝐃(X)=\sigma$

Momentumai

$\mathrm{E}\left(X^p\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ha }p\text{ páratlan,}\\ {\sigma }^p(p-1)!!& \text{ha }p\text{ páros.}\end{array}$

Abszolút momentumai

$\mathrm{E}(|X{|}^p)={\sigma }^p(p-1)!!\cdot \{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{2}{\pi }}& \text{ha }p\text{ páratlan}\\ 1& \text{ha }p\text{ páros}\end{array}\}={\sigma }^p\cdot \frac{2^{\frac{p}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi }}$

Ferdesége

${\beta }_1(X)=0$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=0$

Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

• Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
  Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (X–m)/σ ~ N(0, 1).
• Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X₁ ~ N(m₁, σ₁²) és X₂ ~ N(m₂, σ₂²) független valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ ~ N(m₁ + m₂, σ₁² + σ₂²).

• Fordítva: ha X₁ és X₂ független valószínűségi változó, és X₁ + X₂ normális eloszlású, akkor X₁ is és X₂ is normális eloszlású.

Megjelenése máshol

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható. Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.

Források

• Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
• Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) Sablon:ISBN

További információk

• A standard normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének táblázata
• Interaktív Java szimuláció a normális (és további 10 folytonos) eloszlás tanulmányozásához. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
• Interaktív Java szimuláció kockadobásokról 1-30 kockával. A pontösszegek hisztogramjai a centrális határeloszlás-tételt szemléltetik. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
• Interaktív Flash szimuláció a Galton-deszkáról. A centrális határeloszlás-tételt szemlélteti Sablon:Wayback kétkimenetelű kísérletekkel. Szerző: Duncan Keith
• Interaktív Java szimuláció a kétdimenziós normális eloszlásról. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
• Interaktív Flash szimuláció a standard normális eloszlásértékekről (magyarított). Szerző: Jim Reed
• Online kalkulátor Normális eloszlás. Szerző: René Vápeník

Kapcsolódó szócikkek

• 68–95–99,7 szabály
• Khí-négyzet eloszlás
• Centrális határeloszlás-tétel
• Log-normális eloszlás