Källén–Lehmann spektrális ábrázolás

A Källén–Lehmann-féle spektrális ábrázolás, vagy másképpen Lehmann-reprezentáció, általános összefüggést fejez ki a kölcsönható kvantumtérelmélet (időben rendezett) két-pont függvényeire a szabad propagátorok összegének segítségével. Egymástól függetlenül dolgozta ki Gunnar Källén (1952) svéd és Harry Lehmann (1954) német fizikus. Általánosan a következő összefüggés adja meg:

$\mathrm{\Delta }(p)=\int d^{4}x{e}^{ipx}⟨\mathrm{\Omega }|𝒯\{\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{\Phi }(0)\}|\mathrm{\Omega }⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ},$

ahol $p$ az impulzus, $\mathrm{\Omega }$ a kölcsönható kvantumtérelmélet alapállapota, a $𝒯\{\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{\Phi }(y)\}$ a relativisztikus kvantummezők időrendezett szorzata, illetve a $\rho ({\mu }^2)$ pedig a spektrális sűrűségfüggvény. A spektrális sűrűségfüggvénynek pozitív definitnek kell lennie. Viszont kiemelendő, hogy a mértékelméletekben ez utóbbi feltétel nem teljesül, de a spektrális ábrázolás mégis előállítható.

Matematikai levezetés

Egy $\mathrm{\Phi }(x)$ skalármező propagátorának spektrális ábrázolásának származtatásához először vegyük a kvantumállapotok egy teljes halmazát $\{|n⟩\}$. Ekkor a két-pont korrelációs függvényre átírható a következő alakra, ahol:

$⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|\mathrm{\Omega }⟩=\sum _n⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(x)|n⟩⟨n|{\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|\mathrm{\Omega }⟩.$

Használjuk ki az alapállapot Poincaré-invarianciáját, amely a következő összefüggésre vezet:

$⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|\mathrm{\Omega }⟩=\sum _n{e}^{-i{p}_n\cdot (x-y)}|⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2.$

Ezután bevezetjük a spektrális sűrűségfüggvényt:

$\rho (p^2)=\sum _n\theta (p_0)(2\pi {)}^3{\delta }^4(p-p_n)|⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2,$

ahol azt a tényt használtuk ki, hogy a két-pont korrelációs függvény, mivel $p_n$ függvénye, csak a $p^2$-től függ. Emellett az összes köztes állapot rendelkezik $p^2\ge 0$ és $p_0>0$ tulajdonságokkal. Ebből belátható, hogy a spektrális sűrűségfüggvény valós és pozitív, szóval

$⟨\mathrm{\Omega }|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|\mathrm{\Omega }⟩=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2{e}^{-ip\cdot (x-y)}\rho ({\mu }^2)\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2).$

A két integrált felcserélve a kifejezést átalakíthatjuk a következőképpen:

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2){\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x-y;{\mu }^2),$

ahol $D_F(x-y;{\mu }^2)$ a Feynman-propagátor:

$D_F(x-y;{\mu }^2)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2)$.

A CPT-tételből azt is tudjuk, hogy létezik egy ekvivalens kifejezés a $⟨0|{\mathrm{\Phi }}^{†}(x)\mathrm{\Phi }(y)|0⟩$-ra, és így jutunk el a mezők időrendezési szorzatának kifejezéséhez

$⟨\mathrm{\Omega }|T\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|\mathrm{\Omega }⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\mathrm{\Delta }(x-y;{\mu }^2),$

ahol

$\mathrm{\Delta }(p;{\mu }^2)=\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ}$

a szabadrészecske propagátor.

Bibliográfia

• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Sablon:Hivatkozás/Könyv