Félnorma

A $p(x,y)=|x-y|$ függvény félnorma az ${ℝ}^2$ téren

A matematikában a félnorma egy abszolút homogén, szubadditív funkcionál. A félnorma általánosítja a norma fogalmát, lemondva a pozitív definitségről. A félnormák nemnegatívak, szimmetrikusak az előjel-változtatásra, szublineárisak és konvexek. Maradékosztály-képzéssel a félnormából egy hozzátartozó norma származtatható. Félnormák családjával lokálisan konvex terek definiálhatók. A lineáris algebra és a funkcionálanalízis foglalkozik félnormákkal.

Definíció

Legyen $V$ vektortér a $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ test fölött; ekkor egy $p:V\to {ℝ}_0^{+}$ leképezés félnorma a $V$ vektortéren, ha abszolút homogén és szubadditív, ami azt jelenti, hogy minden $\lambda \in 𝕂$ skalárra és minden $x,y\in V$ vektorra:

$p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$   (abszolút homogenitás)

és

$p(x+y)\le p(x)+p(y)$   (szubadditivitás),

ahol $|\cdot |$ a skalár abszolútérték. Egy félnormával ellátott vektortér félnormált tér.

Példák

• Minden norma félnorma is, ami még pozitív definit is.
• A $p\equiv 0$ nullfüggvény, ami minden vektorhoz 0-át rendel.
• Egy valós vagy komplex értékű lineáris leképezés abszolútértéke.
• Valós esetben minden pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben minden hermitikus szeszkvilineáris forma a $p(x):=\sqrt{(x,x)}$ mennyiségekkel félnormát indukál. Ez a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségen múlik, amiből a szubadditivitás levezethető.
• Ha $X$ topologikus tér, és $K\subset X$ kompakt halmaz, akkor $p_K(f):=\underset{x\in K}{\sup }|f(x)|$ félnorma az $X\to ℂ$ folytonos függvények terén. Ez azért teljesül, mert kompakt halmazon folytonos függvény korlátos, így szuprémuma véges.
• Egy vektortér $U$ abszorbeáló, abszolút konvex részhalmazához definiált $p_U$ Minkowski-funkcionál.
• Egy normált tér $X^{*}$ duális terén definiált $p_x(\phi )=|\phi (x)|$ félnorma minden $x\in X$ és $\phi \in X^{*}$ esetén.
• A korlátos lineáris funkcionálok $𝔏(X,Y)$ halmazán $p_x(T)=\Vert Tx\Vert$ ($x\in X$) és $p_{x,\psi }(T)=|\psi (Tx)|$ ($x\in X,\psi \in Y^{*}$) félnormát definiál.

Tulajdonságok

A $\lambda =0$ helyettesítéssel azonnal kapjuk, hogy

$p(0)=0$,

tehát a nullvektor félnormája nulla. A normától eltérően egy $x\ne 0$ vektor félnormája is lehet nulla. Az $y=-x$ helyettesítéssel és a szubadditivitásból vagy a háromszög-egyenlőtlenségből és az abszolút homogenitásból következik, hogy

$p(x)\ge 0$

minden $x\in V$ vektorra. A $\lambda =-1$ helyettesítéssel látszik, hogy szimmetrikus az előjelváltásra, vagyis

$p(x)=p(-x)$

és az $x-y+y$ vektorokra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget következik a megfordított háromszög-egyenlőtlenség:

$|p(x)-p(y)|\le p(x-y)$.

Továbbá a félnorma szublineáris, mivel az abszolút homogenitásból következik a pozitív homogenitás, és konvex is, mivel minden $0\le t\le 1$ valós számra

$p(tx+(1-t)y)\le p(tx)+p((1-t)y)=tp(x)+(1-t)p(y)$.

Megfordítva, minden abszolút homogén konvex függvény szubadditív, így félnorma, ami látható a $t=\frac{1}{2}$ helyettesítéssel és $2$-vel szorzással.

Maradékosztály-képzés

Az abszolút homogenitásból és a szubadditivitásból következik, hogy a

$Z=\{x\in V:p(x)=0\}$

halmaz, azaz a nulla félnormájú vektorok halmaza altér $V$-ben. Emiatt definiálható a $V$ vektortérben az

$x\sim y:⟺x-y\in Z$

ekvivalenciareláció. Ennek az ekvivalenciarelációnak az osztályai alkotják a $\tilde{V}$ vektorteret, ahol a $p$ félnorma norma. Ez a módszer maradékosztály-képzés a félnormára, és $\tilde{V}$ megegyezik a $V/Z$ faktortérrel. Ezt a konstrukciót használják például az L^p-tér konstrukciójánál.

Félnormák családja

A funkcionálanalízisben a lokálisan konvex terek konstrukciójában többek között félnormák $(p_i{)}_{i\in I}$ családját is vizsgálják. Ezzel a kiindulási $V$ vektortéren topológia definiálható, amivel topologikus teret kapunk. Ebben a topológiában egy $U\subset V$ halmaz nyílt, ha minden $x\in U$-hoz van $ϵ>0$, és véges sok $i_1,\dots ,i_r$ index, hogy

$p_{i_j}(y)<ϵ,j=1,\dots ,r\Rightarrow x+y\in U$, minden $y\in V$-re.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos szétválasztási tulajdonság külön érdeklődést kap. Félnormák egy $(p_i{)}_{i\in I}$ családja szétválasztó, ha minden $x\in V\setminus \{0\}$-hez van legalább egy $p_i$ félnorma úgy, hogy $p_i(x)\ne 0$. Félnormák egy családja pontosan akkor szétválasztó, ha az így $V$-n definiált topológia Hausdorff. Egy ilyen topologikus tér lokálisan konvex.

Gelfand egy tétele

Gelfand következőkben tárgyalt tétele egy 1936-os cikkében jelent meg.

Állítás: Adva legyen egy valós normált $(X,\Vert \cdot \Vert )$ vektortér, és egy $p:X\to [0,+\mathrm{\infty }]$ numerikus függvény, ami rendelkezik a félnorma fenti tulajdonságaival. Továbbá legyen $p$ alulról félig folytonos, és legyen $X$-ben egy $K\subset X$ második kategóriájú halmaz, úgy, hogy ha $x\in K$, akkor $p(x)<+\mathrm{\infty }$.

Ekkor van egy $M>0$ konstans úgy, hogy $p(x)\le M\Vert x\Vert$ minden $x\in X$-re.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book