Forgásparaboloid koordináta-rendszer

A háromdimenziós forgásparaboloid koordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros paraboloid megfelel a τ=2 értéknek, a kék paraboloid a σ=1 koordinátához tartozik, és a sárga félsík a φ=-60°-hoz tartozik. A három felület a P pontban metszi egymást (fekete gömb), melynek Descartes-koordinátái megközelítőleg (1,0; -1,732; 1,5)

A forgásparaboloid koordináta-rendszer a kétdimenziós parabolikus koordináták egy háromdimenziós általánosítása, és a paraboloid koordináta-rendszer speciális esete. A kétdimenziós koordináta-rendszerből annak szimmetriatengelye körüli megforgatásával keletkezik. Egy további általánosítás a parabolikus hengerkoordináta-rendszer, ami a $z$-tengely irányába való vetítéssel származtatható.

A Descartes-koordinátákkal kifejezve:

$x=\sigma \tau \cos \phi$

$y=\sigma \tau \sin \phi$

$z=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

ahol a parabolák közös tengelye a $z$-tengely, ami egyben a forgatás tengelye is. Így a $\varphi$ azimut definíciója:

$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$

A konstans $\sigma$-jú felületek felfelé nyitott konfokális forgásparaboloidok:

$2z=\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

míg a konstans $\tau$-jú felületek lefelé nyitott konfokális paraboloidok:

$2z=-\frac{x^2+y^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

Mindezen paraboloidok közös fókusza az origó.

A koordináta-rendszerrel asszociált Riemann-féle metrikus tenzor:

$g_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }^2+{\tau }^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }^2+{\tau }^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }^2{\tau }^2\end{array}\right]$

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők:

$h_{\sigma }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

$h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

$h_{\phi }=\sigma \tau$

Látható, hogy a $h_{\sigma }$ és $h_{\tau }$ skálázási tényezők megegyeznek a parabolikus koordináta-rendszer skálázási tényezőivel. Az infinitezimális térfogatelem:

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{\phi }d\sigma d\tau d\phi =\sigma \tau ({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau d\phi$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau ,\phi )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book