Paraboloid koordináta-rendszer

A háromdimenziós paraboloid koordináta-rendszer koordinátafelületei

A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a $(\mu ,\nu ,\lambda )$ koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.

Alapképletek

Az $(x,y,z)$ Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a $(\mu ,\nu ,\lambda )$ koordinátákból:

$x^2=\frac{4}{b-c}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )$

$y^2=\frac{4}{b-c}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)$

$z=\mu +\nu +\lambda -b-c$

ahol

$\mu >b>\lambda >c>\nu >0$

Következik, hogy a konstans $\mu$-jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:

$\frac{x^2}{\mu -b}+\frac{y^2}{\mu -c}=-4(z-\mu )$

a konstans $\nu$-höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:

$\frac{x^2}{b-\nu }+\frac{y^2}{c-\nu }=4(z-\nu )$

a konstans $\lambda$-hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:

$\frac{x^2}{b-\lambda }-\frac{y^2}{\lambda -c}=4(z-\lambda )$

Skálázási tényezők

A $(\mu ,\nu ,\lambda )$ paraboloid koordináták skálázási tényezői:

$h_{\mu }={\left[\frac{(\mu -\nu )(\mu -\lambda )}{(\mu -b)(\mu -c)}\right]}^{1/2}$

$h_{\nu }={\left[\frac{(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}{(b-\nu )(c-\nu )}\right]}^{1/2}$

$h_{\lambda }={\left[\frac{(\lambda -\nu )(\mu -\lambda )}{(b-\lambda )(\lambda -c)}\right]}^{1/2}$

így az infinitezimális térfogatelem

$dV=\frac{(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{{[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)]}^{1/2}}d\lambda d\mu d\nu$

Differenciáloperátorok

A differenciáloperátorok kifejezhetők a $(\mu ,\nu ,\lambda )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:

$\mathrm{\nabla }={\left[\frac{(\mu -b)(\mu -c)}{(\mu -\nu )(\mu -\lambda )}\right]}^{1/2}{𝐞}_{\mu }\frac{\partial }{\partial \mu }+{\left[\frac{(b-\nu )(c-\nu )}{(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}\right]}^{1/2}{𝐞}_{\nu }\frac{\partial }{\partial \nu }+{\left[\frac{(b-\lambda )(\lambda -c)}{(\lambda -\nu )(\mu -\lambda )}\right]}^{1/2}{𝐞}_{\lambda }\frac{\partial }{\partial \lambda }$

és a Laplace-operátor:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2=& {\left[\frac{(\mu -b)(\mu -c)}{(\mu -\nu )(\mu -\lambda )}\right]}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \mu }[(\mu -b{)}^{1/2}(\mu -c{)}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \mu }]\\ & +{\left[\frac{(b-\nu )(c-\nu )}{(\mu -\nu )(\lambda -\nu )}\right]}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \nu }[(b-\nu {)}^{1/2}(c-\nu {)}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \nu }]\\ & +{\left[\frac{(b-\lambda )(\lambda -c)}{(\lambda -\nu )(\mu -\lambda )}\right]}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \lambda }[(b-\lambda {)}^{1/2}(\lambda -c{)}^{1/2}\frac{\partial }{\partial \lambda }]\end{array}$

Alkalmazások

A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.

A Helmholtz-egyenlet $({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)\psi =0$. Elvégezve a $\psi =M(\mu )N(\nu )\mathrm{\Lambda }(\lambda )$ helyettesítést, a leválasztott egyenletek:

$\begin{array}{cc}& (\mu -b)(\mu -c)\frac{d^{2}M}{d{\mu }^2}+\frac{1}{2}[2\mu -(b+c)]\frac{dM}{d\mu }+[k^2{\mu }^2+{\alpha }_3\mu -{\alpha }_2]M=0\\ & (b-\nu )(c-\nu )\frac{d^{2}N}{d{\nu }^2}+\frac{1}{2}[2\nu -(b+c)]\frac{dN}{d\nu }+[k^2{\nu }^2+{\alpha }_3\nu -{\alpha }_2]N=0\\ & (b-\lambda )(\lambda -c)\frac{d^2\mathrm{\Lambda }}{d{\lambda }^2}-\frac{1}{2}[2\lambda -(b+c)]\frac{d\mathrm{\Lambda }}{d\lambda }-[k^2{\lambda }^2+{\alpha }_3\lambda -{\alpha }_2]\mathrm{\Lambda }=0\\ \end{array}$

ahol ${\alpha }_2$ és ${\alpha }_3$ szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a $k=0$ helyettesítéssel a fentiekbe.

A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az ${\alpha }_2$ és ${\alpha }_3$ konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.

A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book
• MathWorld