Penrose-féle grafikus jelölésrendszer

Sablon:Nincs forrás A matematikában és fizikában a Penrose-féle diagrammatikus jelölésrendszer (általában kézzel írott) vizuális leírása a multilineáris függvényeknek vagy tenzoroknak, amelyet Roger Penrose javasolt 1971-ben. A jelölésrendszer egy diagramból áll, amelyben sokféle síkidom van összekötve vonalakkal. A jelölésrendszert Predrag Cvitanović alaposan kutatta, aki arra használta, hogy osztályozza a klasszikus Lie-csoportokat. Általánosítva volt a reprezentációs elmélet a spinhálózatok által a fizikában, valamint a mátrix csoportoktól trace diagramokig a lineáris algebrában. A jelölésrendszer sokszor előfordul a modern kvantumelméletben, különösen a mátrix termékállapotokban és kvantum körökben.

Értelmezések

Multilineáris algebra

A multilineáris algebra nyelvezetében minden síkidom egy multilineáris függvénynek felel meg. A vonalak a formákhoz kapcsolva a ki- és bemenetét reprezentálják a függvénynek, valamint az idomok összekapcsolása egyúttal a függvények kompozíciója.

Tenzorok

A tenzoralgebra nyelvezetében, minden tenzor egy bizonyos formával van asszociálva több vonallal, amelyek le- és felfelé mutatnak, az absztrakt felső és alsó indexekkel megfelelően. Az összekötő vonalak a formák között az indexek rövidítésének felelnek meg. Az egyik előnye a jelölésrendszernek, hogy nem kell új betűket kitalálni az új indexeknek. Ez a jelölésrendszer bázisfüggetlen.

Mátrixok

Mindegyik forma egy mátrixot reprezentál, a tenzorszorzást vízszintesen kell végezni, a mátrixszorzást pedig függőlegesen.

Speciális tenzorok reprezentációja

Metrikus tenzor

A metrikus tenzort egy U alakú hurok vagy egy lefelé fordított U alakú hurok képviseli, a használt tenzor típusától függően.

metrikus tenzor $g^{ab}$

metrikus tenzor $g_{ab}$

Levi-Civita-tenzor

A Levi-Civita antiszimmetrikus tenzor egy vastag vízszintes vonalnak felel meg, amelyben ágak állnak lefelé vagy felfelé, attól függően, hogy milyen típusú tenzorral dolgozunk.

${\epsilon }_{ab\dots n}$

${\epsilon }^{ab\dots n}$

${\epsilon }_{ab\dots n}{\epsilon }^{ab\dots n}$$=n!$

A szerkezetállandó

szerkezet állandó ${{\gamma }_{\alpha \beta }}^{\chi }=-{{\gamma }_{\beta \alpha }}^{\chi }$

A Lie-algebra szerkezetkonstansai (${{\gamma }_{ab}}^c$) egy kicsi háromszög által vannak reprezentálva, amelyből egy vonal mutat felfelé, kettő pedig lefelé.

Tenzorműveletek

Az indexek rövidítése

Az indexek rövidülése úgy van ábrázolva, hogy az indexek vonalait összekötjük.

Kronecker-delta ${\delta }_b^a$

Pont termék ${\beta }_a{\xi }^a$

$g_{ab}{g}^{bc}={\delta }_a^c=g^{cb}{g}_{ba}$

Szimmetrizáció

Az indexek szimmetrizációját egy vastag cikkcakkos vonallal lehet reprezentálni, amely az index vonalait vízszintesen metszi.

Szimmetrizáció $Q^{(ab\dots n)}$ (val vel ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

Az indexek antiszimmetrizációja egy vastag vízszintes vonal, amely metszi az index vonalait.

Antiszimmetrizálás <br> $E_{[ab\dots n]}$ (val vel ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

Determináns

A determináns úgy alakul meg, hogy antiszimmetrizációt alkalmazunk az indexekre.

Determináns $\det 𝐓=\det \left(T_b^a\right)$

A mátrix inverze ${𝐓}^{-1}={\left(T_b^a\right)}^{-1}$

Kovariáns derivatív

A kovariáns derivatívot ($\mathrm{\nabla }$) úgy vizualizálhatjuk, hogy egy kört rajzolunk a tenzorok köré, és egy vonal mutat lefelé a körből, hogy reprezentálja a derivatív alsó indexét.

kovariáns derivatív $12{\mathrm{\nabla }}_a\left({\xi }^f{\lambda }_{fb[c}^{(d}{D}_{gh]}^{e)b}\right)$$=12({\xi }^f({\mathrm{\nabla }}_a{\lambda }_{fb[c}^{(d})D_{gh]}^{e)b}+({\mathrm{\nabla }}_a{\xi }^f){\lambda }_{fb[c}^{(d}{D}_{gh]}^{e)b}+{\xi }^f{\lambda }_{fb[c}^{(d}({\mathrm{\nabla }}_a{D}_{gh]}^{e)b}))$

Tenzormanipuláció

A diagramszerű jelzésrendszer hasznos a tenzoralgebra manipulációjában. Általában megjelenik benne pár egyszerű „azonosság” a tenzormanipulációban.

Például ${\epsilon }_{a...c}{\epsilon }^{a...c}=n!$, ahol n a dimenziók száma, általános "azonosság".

Riemann görbületi tenzor

A Ricci és Bianchi-azonosságok a Riemann-görbülettenzor megadott feltételeivel megmutatják a jelölésrendszer erejét.

A Riemann görbületi tenzor jelölése

Ricci tenzor $R_{ab}=R_{acb}^c$

Ricci azonosság $({\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a){\mathit{\xi }}^d$$=R_{abc}^d{\mathit{\xi }}^c$

Bianchi identitás ${\mathrm{\nabla }}_{[a}{R}_{bc]d}^e=0$

Kiegészítések

A jelölésrendszer ki lett bővítve a spinorokkal és tvisztorokkal.

Kapcsolódó szócikk

• Spinhálózat