Robert Mayer-egyenlet

A fizikában, pontosabban a termodinamikában a Robert Mayer-egyenlet megadja az izochor és izobár mólhők közötti összefüggést. Ezt ideális gáz esetén Julius Robert von Mayer vezette le a XIX. században.

A Robert Mayer-egyenlet: $C_P-C_V=nR$

ahol:

• $n$ az anyagmennyiség,
• $R$ az egyetemes gázállandó,
• $C_P$ az állandó nyomáson értelmezett moláris hőkapacitás,
• $C_V$ az állandó térfogaton értelmezett moláris hőkapacitás.

Egy mól ideális gáz esetén a kétféle moláris hőkapacitás közötti különbség az egyetemes gázállandó értékével egyenlő.

$C_p-C_v=R=8,314$ J/mol·K

A Robert Mayer-egyenlet általánosítása

Abban az esetben, ha a gáz nem ideális, másképp néz ki az $F(P,V,T)=0$ állapotegyenlete . A termodinamika második főtétele bevezeti az entrópiát, mint állapotfüggvényt, amelynek segítségével általánosítható a Robert Mayer-egyenlet bármilyen fluidumra. Ezért a feladat visszavezetődik a mólhők kifejezésére az entrópia segítségével.

Ezeket a következőképpen fejezhetjük ki:

$C_p={\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)}_P=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P,C_v={\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)}_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V.$

Tekintsük az entrópiát kétváltozós függvénynek, amely a hőmérséklettől és a térfogattól függ:

$S(T,V)=S(T,P(T,V)).$

Parciálisan deriválva a hőmérséklet szerint, alkalmazva a láncszabályt:

${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V={\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P+{\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$,

Beszorozva a hőmérséklettel és alkalmazva a mólhők definícióját:

$C_p-C_v=-T{\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V,$

Felhasználva a Szabadentalpia differenciális kifejezéseinek egyikét:

${\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P,$

Ehhez az egyenlethez jutunk, amelyet a Robert Mayer-egyenlet általánosításának nevezünk:

$C_P-C_V=T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P.$

ahol:

• $P$ a nyomás,
• $T$ a hőmérséklet,
• $V$ a térfogat.

Látható, hogy az egyenlet jobb oldalán csak olyan mennyiségek szerepelnek, amelyek az állapotegyenletből fejezhetőek ki, ezért ha ez ismert, belőle ki lehet fejezni a szükséges mennyiségeket. Sajátos esetben ideális gázra is ismert a Gáztörvény, ebből kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat a Robert Mayer-egyenlethez jutunk.

Ideális gáz

Az általános Robert Mayer-egyenletből kiindulva, a feladat az állapotegyenletből a megfelelő parciális deriváltak kifejezése.

Az állapotegyenlet jelen esetben a Gáztörvény:

$PV=nRT$

Kifejezve a nyomást, illetve a térfogatot a hőmérséklet függvényében:

$P=\frac{nRT}{V}$ $V=\frac{nRT}{P}$

Tudva, hogy az Anyagmennyiség állandó, kifejezve a parciális deriváltakat:

${\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V=\frac{nR}{V}$ ${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P=\frac{nR}{P}$

Behelyettesítve az általános összefüggésbe:

$C_P-C_V=T\frac{nR}{V}\frac{nR}{P}$

Felhasználva az állapotegyenletet és egyszerűsítve:

$C_P-C_V=T\frac{nRnR}{nRT}=T\frac{nR}{T}=nR$

Reális gáz

Hasonlóan az ideális gáz esetéhez, felhasználva a reális gázt leíró állapotegyenletet, kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat, eljutunk a reális gázra jellemző Robert Mayer-egyenlethez. A számítások egyszerűsítése érdekében legyen az anyagmennyiség 1mól.

Ebben az esetben az állapotegyenlet a Van der Waals-egyenlet:

$(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$

Kifejezve a nyomást:

$P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$

Tudva, hogy az állapotegyenlet felfogható egy háromváltozós függvényként:

$F(P,V,T)=0$

, fennállnak rá a következő összefüggések:

${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_T=-1$

${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P=\frac{-1}{{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_V{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_T}=\frac{-{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V}{{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_T}$

Kifejezve a nyomás megfelelő parciális deriváltjait:

${\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V=\frac{R}{V-b}$

${\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)}_T=\frac{-RT}{(V-b{)}^2}+\frac{2a}{V^3}$

Behelyettesítve az általános összefüggésbe:

$C_P-C_V=T\frac{R}{V-b}\frac{\frac{-R}{V-b}}{\frac{-RT}{(V-b{)}^2}+\frac{2a}{V^3}}=\frac{-R^{2}T{V}^3}{-RT{V}^3+2a(V-b{)}^2}=\frac{R}{1-\frac{2a(V-b{)}^2}{RT{V}^3}}$

Tudva, hogy az izoterm kompresszibilitási együttható:${\chi }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T$( ideális gáz esetén ${\chi }_T=\frac{1}{P}$),

Az izobár hőtágulási együttható: $\alpha =\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P$( ideális gáz esetén,$\alpha =\frac{1}{T}$),

Az izochor nyomástényező: $\beta =\frac{1}{P}{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$(ideális gáz esetén $\beta =\frac{1}{T})$.

A Robert Mayer-egyenlet felírható ezek segítségével is: $C_P-C_V=T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P=TP\beta V\alpha =T{\left(P\beta \right)}^{2}V{\chi }_T=T\frac{V{\alpha }^2}{{\chi }_T}$.

Mivel az izoterm kompresszibilitási együttható mindig pozitív, a fenti egyenletből látszik, hogy: $C_P>C_V$.

Ebből következik, hogy az adiabatikus kitevő $\kappa =\frac{c_p}{c_v}>1$ minden esetben.

Források

• Șerban Țițeica, Termodinamica, Editura Academiei, București, 1982
• H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, J.Wiley & Sons 1960, Sablon:ISBN
• Filep Emőd, Néda Árpád, Hőtan, Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2003