Dedekind-gyűrű

A Dedekind-gyűrűk a racionális egészek gyűrűjének általánosításaként foghatók fel, elsősorban az algebrai számelméletben és a kommutatív algebrában bírnak jelentős szereppel. Richard Dedekind német matematikusról vannak elnevezve.

Definíciók

Egy $R$ integritási tartományt Dedekind-gyűrűnek nevezünk, ha teljesül rá a következő ekvivalens feltételek bármelyike:

• Bármely $(0)\ne I\subseteq R$ ideál invertálható.
• Bármely törtideál invertálható.
• $R$ Noether-gyűrű és bármely $𝔭\in \mathrm{Spec}R$ prímideálra az $R_{𝔭}$ lokalizált test vagy diszkrét értékelésgyűrű.
• $R$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és egészre zárt.
• $R$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és reguláris.
• $R$ bármely ideálja egyértelműen felírható prímideálok szorzataként.

Példák és ellenpéldák

• Minden főideálgyűrű, speciálisan minden diszkrét értékelésgyűrű Dedekind.
• Ha $K$ egy számtest, akkor a $K$-beli algebrai egészek ${𝒪}_K$ gyűrűje Dedekind.
• Dedekind-gyűrű lokalizáltja is Dedekind.

Nem Dedekind-gyűrűk a következő integritási tartományok:

• $\mathbb{Z}[X]$ (nem egydimenziós)
• $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ (nem egészre zárt)

Tulajdonságok

• Ha $R$ Dedekind-gyűrű, $(0)\ne I\subseteq R$ ideál, akkor $R/I$ főideálgyűrű.
• Egy Dedekind-gyűrű bármely ideálja generálható legfeljebb két elemmel. Következésképpen minden Dedekind-gyűrű Noether-tulajdonságú.

Források

• Sablon:Cite webSablon:Halott link
• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás