Csillagtestszámok

Csillagtest formába pakolt 124 mágneses golyóbis

A számelméletben a csillagoktaéder-számok vagy csillagtestszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló csillagtestekben (Stella octangula) részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik csillagtestszám $S{t}_n$ a következő képlettel állítható elő:

$S{t}_n=n(2n^2-1).$

Az első néhány csillagtestszám:

1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960… Sablon:OEIS

Kapcsolat más figurális számokkal

Ha $O_n$ az n-edik oktaéderszám és $T{e}_n$ az n-edik tetraéderszám, akkor

$S{t}_n=O_n+8T{e}_{n-1}.$

Tulajdonságai, alkalmazásai

A csillagtestszámok generátorfüggvénye:

$\frac{z(z^2+10z+1)}{(z-1{)}^4}.$

Ljunggren egyenlete

Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik, ami egyben négyzetszám is, ezek az Sablon:Math és a Sablon:Math, amik az Sablon:Math és Sablon:Math esetnek felelnek meg. A négyzetes csillagtestszámokat leíró elliptikus görbét,

$m^2=n(2n^2-1)$

a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve:

$x^2=y^3-2y$

a következő változócseréket hajtjuk végre: Sablon:Math, Sablon:Math. Mivel az Sablon:Math két tényezője, Sablon:Mvar és Sablon:Math relatív prímek, ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük, a változók egy második cseréjével, $X=m/\sqrt{n}$ és $Y=\sqrt{n}$ pedig a következő Ljunggren-egyenlethez jutunk:

$X^2=2Y^4-1.$

Siegel egy tétele kimondja, hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet, Sablon:Harvs pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra, hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen Sablon:Math és Sablon:Math, amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg. Louis J. Mordell megsejtette, hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető, és valóban, később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt.

További információk

• Sablon:Mathworld