Primoriális

p_n# n függvényében, logaritmikus skálán

n# n függvényében (piros pöttyök), n!-hoz hasonlítva, logaritmikus skálán

A számelmélet területén a primoriális (angolul: primorial) olyan természetes számokon értelmezett függvény, ami nagyon hasonlít a faktoriálishoz, de ahelyett, hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban (egy adott korlátig), csak egymásutáni prímszámokon fut végig.

A primoriálisnak két inkonzisztens (azaz egymással összeférhetelen) definíciója létezik:

• az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi (így a függvény szigorúan monoton növekvő);
• a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi (így a függvény monoton növekvő).

Általában ez utóbbit szokták használni.

A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal, hasonlóan ahhoz, ahogy a faktoriális a faktorokra.

Definíció prímszámokra

Ha az n-edik prímszámot p_n-nel jelöljük, akkor a p_n# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:

$p_n\mathrm{\#}=\prod _{k=1}^n{p}_k.$

Például p₅# az első 5 prímszám szorzatának felel meg:

$p_5\mathrm{\#}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$.

Az első hat p_n# primoriális:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 Sablon:OEIS.

A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p₀# = 1 értéket is.

Aszimptotikusan a p_n# primoriálisok a

$p_n\mathrm{\#}=e^{(1+o(1))n\log n}$ képlet szerint nőnek,

ahol $o(\cdot )$ a kis ordó jelölés.

Definíció természetes számokra

Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriális, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:

$n\mathrm{\#}=\prod _{i=1}^{\pi (n)}{p}_i=p_{\pi (n)}\mathrm{\#}$

ahol $\pi (n)$ a prímszámláló függvény Sablon:OEIS, ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.

Ez a formula ekvivalens a következő rekurzív definícióval:

$n\mathrm{\#}=\{\begin{array}{cc}1& \text{ha }n=0\text{ vagy }n=1,\\ n\cdot (n-1)\mathrm{\#}& \text{ha }n\text{ prímszám},\\ (n-1)\mathrm{\#}& \text{ha }n\text{ összetett szám}.\end{array}$

Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:

$12\mathrm{\#}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310.$

Mivel $\pi (12)=5$, ez a következőképp is számítható:

$12\mathrm{\#}=p_{\pi (12)}\mathrm{\#}=p_5\mathrm{\#}=2310.$

Tekintsük az első 12 természetes szám primoriálisát:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Látható, hogy összetett n-ekre az n# megegyezik az őt megelőző (n − 1)# értékével. A fenti példában 12# = p₅# = 11#, mivel 12 összetett szám.

Az első Csebisev-függvény éppen az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg:

$\vartheta (n)\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{p\le n}\ln p=\ln \left(\prod _{p\le n}p\right)=\ln (n\mathrm{\#}).$

Ugyanakkor nagy n értékekre $\vartheta (n)$ a lineáris n függvényt közelíti. Tehát:

$\ln (n\mathrm{\#})\sim n⟺n\mathrm{\#}\sim e^n.$

Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni, felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.

Alkalmazásai és tulajdonságai

A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + k×23# kifejezés a k = 0, 1, ..., 13 értékekre egy csupa prímszámból álló 14 tagú számtani sorozatot határoz meg (mely 5136341251-gyel végződik). A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.

Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzataként áll elő (pl. 360 = 2·6·30). Minden primoriális ritkán tóciens szám. Minden primoriális praktikus szám.

A primoriálisok négyzetmentesek és mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a $\varphi (n)/n$ tört – ahol $\varphi$ az Euler-függvény – kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében.

Bármely teljesen multiplikatív számelméleti függvényt (olyan $f:\mathbb{N}\to ℂ$ függvényet, amelyre $f(ab)=f(a)f(b),\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$) meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.

A primoriális alapú számrendszerek (nem összetévesztendőek a primoriális számrendszerekkel) jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.

Megjelenése

A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egészekben vett értéke kifejezhető a primoriálisok és a $J_k(n)$ Jordan-függvény segítségével:

$\zeta (k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum _{r=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p_{r-1}\mathrm{\#}{)}^k}{J_k(p_r\mathrm{\#})},k=2,3,\dots$

Primoriálisok táblázata

n	n#	pn	pn#
0	1	–	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
18	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
20	9699690	71	557940830126698960967415390

Kapcsolódó szócikkek

• Bonse-egyenlőtlenség
• Primoriálisprím
• Faktoriális számrendszer

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Jegyzetek

• Sablon:Cite journal