Halmaz lezártja

A matematikában egy S halmaz lezártjának, ahol S egy topologikus tér részhalmaza, azon pontok halmazát nevezzük, amelyek S-nek elemei vagy torlódási pontjai. S lezártja úgy is definiálható mint az S halmaz és S határának a uniója. Magyarul egy halmaz lezártja azon S pontjainak halmaza, ill. azon pontok halmaza amelyek S-hez "közel vannak". A halmaz lezártja és a belső része között kapcsolat van, egymás segítségével, és a komplementer művelettel kifejezhetőek egymásból.

Definíciók

Lezárási pontok

Ha S egy euklideszi tér részhalmaza, akkor x-et S lezárási pontjának nevezzük, ha x bármely nyílt környezete tartalmaz S-beli pontot. (Ez a pont lehet akár maga az x pont is.) Valójában ez a definíció nem függ a környezet nyíltságától.

Torlódási pont

A fenti definíció szoros kapcsolatban van a torlódási pontok definíciójával. A különbség az, hogy a torlódási pontok esetén minden nyílt környezetnek tartalmaznia kell egy x-től különböző pontot S-ből.

Így minden torlódási pont lezárási pont is, de nem minden lezárási pont torlódási pont. Azok a lezárási pontok, amelyek nem torlódási pontok, izolált pontok. Vagyis, egy x pont izolált pontja S-nek, ha eleme S-nek és ha létezik olyan környezete, amely nem tartalmaz önmagán kívül más pontokat S-ből.

Egy halmaz lezártja

Egy S halmaz lezártja az S összes lezárási pontjának a halmaza, vagyis a legkisebb olyan halmaz ami S-et magában foglalja és tartalmazza S összes torlódási pontját. Egy S halmaz lezártját cl(S), Cl(S), $\overline{S}$ vagy $S^{-}$-el jelölik. A halmaz lezártja operátor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• cl(S) egy zárt halmaz amelynek részhalmaza S.
• cl(S) a metszete az összes zárt halmaznak aminek S részhalmaza.
• cl(S) a legkisebb zárt halmaz amelynek S részhalmaza.
• cl(S) S és S határának ∂(S)-nak az uniója.
• Egy S halmaz akkor és csak akkor zárt ha S = cl(S).
• Ha S a T egy részhalmaza akkor cl(S) a cl(T) részhalmaza.
• Ha A zárt halmaz akkor A-nak S akkor és csak akkor részhalmaza ha A-nak részhalmaza cl(S).

Néha a definíciónak a 2. vagy a 3. tulajdonságot használják.

Példák

Topologikus térben:

• $\mathrm{\varnothing }=\mathrm{c}\mathrm{l}(\mathrm{\varnothing })$.
• Ha a teljes tér X, akkor X = cl(X).

Legyen R és C a hagyományos módon topológiaként értelmezve, ekkor:

• Ha X euklideszi tér a valós számok (R) felett akkor: cl((0, 1)) = [0, 1].
• Ha X euklideszi tér a valós számok (R) felett, akkor a racionális számok Q halmazának a lezártja a teljes tér vagyis R. Ezek alapján Q sűrű részhalmaza R-nek.

Operátorként

A lezáró operátor ⁻ kapcsolatban áll a belső rész operátorával ^o-val, a következőképpen:

S⁻ = X \ (X \ S)^o

és

S^o = X \ (X \ S)⁻

ahol X jelöli azt a topologikus teret amelynek S a részhalmaza.

Források

• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation