Log-normális eloszlás

A log-normális eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, melyre az jellemző, hogy a valószínűségi változó logaritmusa normális eloszlású.

Ha X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor Y=exp(X) log-normális eloszlású. Hasonlóképpen, ha Y log-normális eloszlású, akkor X=log(Y) normális eloszlású.

Ezt az eloszlást Galton-eloszlásnak is szokták hívni Francis Galton után, továbbá más elnevezések is előfordulnak, mint például: McAlister, Gibrat és Cobb–Douglas.

A változókat log-normálisként modellezik, ha független valószínűségi változók többszörös szorzataként jellemezhetők.(Ezt igazolja a log-tartományra érvényes központi határérték-elmélet).

Például a drót nélküli távközlésben az árnyékolás és a lassú fading jelenség okozta jelveszteséget log-normális eloszlásúnak tekintik.

A log-normális eloszlás egy X valószínűségi változóra nézve maximális-entrópia típusú valószínűség eloszlású, ha várható értéke és szórásnégyzete: $\ln (X)$.

Hely- és skálaparaméterek

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlás függvény

A normális eloszlás standardizálhatóságán alapul, hogy az X log-normális eloszlású valószínűségi változót egyértelműen jellemzi a μ és a σ értékpár. Ha

$N=\mu +\sigma Z,$

ahol Z egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

$X=e^N=e^{\mu +\sigma Z}.$

Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális.

Ha log_a(Y) normális eloszlású, akkor log_b(Y) is az, bármely pozitív számra. Hasonlóképpen, ha $e^X$ normális eloszlású, akkor $e^{\ln (a)X}$ is az, ahol a egy pozitív szám, ami nem egyenlő 1-gyel. Logaritmikus ábrázolásnál, a μ és σ-t helyparaméternek, illetve skálaparaméternek hívják.

Jellemzők

A log-normális eloszlású valószínűségi változó csak pozitív valós értéket vehet fel.

Sűrűségfüggvény

A log-normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

$f_X(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x>0$ (Ez a változók cseréjének szabályából következik)

Kumulatív eloszlásfüggvény

$F_X(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}[-\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}]=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right),$

ahol erfc a komplementer hibafüggvény, és Φ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény, E[e ^itX] több megjelenítése is ismert.

Az integrálja konvergál Im(t) ≤ 0. A legegyszerűbb, ha Taylor-sorbafejtést alkalmazunk:

$\phi (t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n}{n!}{e}^{n\mu +n^2{\sigma }^2/2}.$ A soros megjelenítés divergál, ha σ² > 0. Ez azonban elegendő a karakterisztikus függvény kiszámolására pozitív $\sigma$ esetén, amíg a szumma felső határértéke érvényes, n ≤ N, ahol

$\max (|t|,|\mu |)\ll N\ll \frac{2}{{\sigma }^2}\ln \frac{2}{{\sigma }^2}$

és σ² < 0.1.

Momentumok

A hely- és skálaparaméterek ismerete esetén könnyebben használható a mértani középérték és a geometrikus szórás, mint az számtani középérték és a szórás.

Geometrikus momentumok

A log-normális eloszlás mértani közepe: $e^{\mu }$. Mivel a log-normális eloszlás logaritmusa szimmetrikus, és a kvantilisek monoton transzformáción megmaradnak, a mértani közepe (várható értéke) egyenlő a mediánnal. A mértani közép (m_g) levezethető az számtani középből (m_a):

$m_g=m_a{e}^{-\frac{1}{2}{\sigma }^2}.$

A mértani szórás: $e^{\sigma }$

Aritmetikai momentumok

Ha X log-normális eloszlású valószínűségi változó, akkor a várható értéke (E, számtani középérték), szórásnégyzete (Var), és szórása (s.d.) a következő:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{E}[X]=e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2},\\ & \mathrm{Var}[X]=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}\\ & \mathrm{s.d.}[X]=\sqrt{\mathrm{Var}[X]}=e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\sqrt{e^{{\sigma }^2}-1}.\end{array}$

Fordítva: a μ és σ paraméterek megkaphatók, ha a várható érték és a szórásnégyzet ismert:

$\begin{array}{cc}\mu & =\ln (\mathrm{E}[X])-\frac{1}{2}\ln (1+\frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]}{(\mathrm{E}[X]{)}^2}),\\ {\sigma }^2& =\ln (1+\frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]}{(\mathrm{E}[X]{)}^2}).\end{array}$

Bármely s valós vagy komplex számra és a log-normális X-re:

$\mathrm{E}[X^s]=e^{s\mu +\frac{1}{2}{s}^2{\sigma }^2}.$

A log-normális eloszlást nem határozzák meg kizárólagosan a momentumai E[X^k] k ≥ 1 esetre, azaz létezik néhány más eloszlás is hasonló momentumokkal az összes k-ra. Valójában egy nagy eloszlás család létezik hasonló momentumokkal, mint a log-normális eloszlás.

Módusz és medián

Középérték, medián, módusz, különböző ferdeségek esetén

A módusz a sűrűségfüggvény maximális pontja. Elsősorban megoldja a (ln ƒ)′ = 0 egyenletet:

$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}[X]=e^{\mu -{\sigma }^2}.$

A medián az a pont, ahol F_X = 1/2:

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{d}[X]=e^{\mu }.$

Szórási tényező

$\sqrt{e^{{\sigma }^2}-1}$

Egyéb összefüggés

Egy adathalmaz, mely a log-normális eloszlásból származik, szimmetrikus Lorenz-görbe. A harmonikus (H), mértani (G) és számtani (A) közép (várható érték) kapcsolódik egymáshoz; és ez a kifejezés adja meg az összefüggést:

$H=\frac{G^2}{A}.$

A log-normális eloszlások végtelenül oszthatók.

Alkalmazások

• Biológia:
  • Élő szövetek méretei (hosszúság, súly, bőrfelület))
  • Inaktív emberi testrészek hosszúság (haj, köröm, fogak)
  • egyes fiziológiás mérések (például : vérnyomás férfi/női populációnál)
• Hidrológia:
  • Esőzési adatok (extrém értékek)
  • Folyó áradások adatai
• Gazdaság:
  • A lakosság jövedelme 97–99%-a log-normális eloszlást mutat.
• Pénzügyek
• Black-Scholes modell: átváltási ráták, árindexek, tőzsde mutatók
• Települések:
  • Városok mérete log-normális eloszlású
• Megbízhatósági analízis:
  • Karbantartási idők meghatározásánál log-normális eloszlást is használnak
• Drót nélküli kommunikáció:
• Mechanika:
  • Súrlódási tényezők számítása

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Külső hivatkozások

• A log-normális eloszlás a MathWorld-ön Sablon:En