A Schwarzschild-megoldás levezetése

Az általános relativitáselméletnek a gömbszimmetrikus vákuum megoldását Schwarzschild-megoldásnak nevezzük, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.

Jelölések

A következő koordináta négyest használjuk $(r,\theta ,\varphi ,t)$ .

Feltételezéseink

(1) Gömbszimmetrikus téridőben a metrika nem változik a $\theta \to -\theta$ vagy $\varphi \to -\varphi$ tükrözések esetén, valamint a két változóban történő forgatások elvégzése esetén.

(2) A statikus téridőben az összes metrikus komponens $t$ (idő) független (azaz $\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial t}=0$) és nem változik időtükrözés $t\to -t$ esetén sem.

(3) Vákuum megoldás esetén az Einstein-egyenletek jobb oldala eltűnik, tehát $T_{ab}=0$. Így az egyenletekből $R=0$ következik. Továbbá az $R_{ab}-\frac{R}{2}{g}_{ab}=0$ egyenletből $R_{ab}=0$ kapunk.

A metrika diagonalizálása

A $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,\theta ,\varphi ,-t)$, transzformációra a metrika nem változik. A $g_{\mu 4}$ ($\mu \ne 4$) komponensek a következőképpen transzformálódnak:

$g_{{\mu }^{\prime }4}=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\text{'}\mu }}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial x^{\text{'}4}}{g}_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}$ ($\mu \ne 4$)

Mivel a $g{\text{'}}_{\mu 4}=g_{\mu 4}$ metrikus komponensek nem változnak:

$g_{\mu 4}=0$ ($\mu \ne 4$)

A $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,\theta ,-\varphi ,t)$ és a $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,-\theta ,\varphi ,t)$ koordináta transzformációkból:

$g_{\mu 3}=0$ ($\mu \ne 3$)

$g_{\mu 2}=0$ ($\mu \ne 2$)

Összegezve:

$g_{\mu \nu }=0$ ($\mu \ne \nu$)

Tehát a metrika a következő alakú

$d{s}^2=g_{11}d{r}^2+g_{22}d{\theta }^2+g_{33}d{\varphi }^2+g_{44}d{t}^2$

A komponensek kiszámítása

Azon a hiperfelületen ahol $t$, $\theta$ és $\varphi$ konstans, a $g_{11}$ komponens csak $r$ -től függ. Tehát

$g_{11}=A\left(r\right)$

hasonlóan

$g_{44}=B\left(r\right)$

vagy hagyományos jelölésmóddal

$g_{11}=h^2$ és $g_{00}=-f^2$

Konstans $t$ és $r$ estén

$d{l}^2=r_0^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

továbbá

${\tilde{g}}_{22}(d{\theta }^2+\frac{{\tilde{g}}_{33}}{{\tilde{g}}_{22}}d{\varphi }^2)=r_0^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

amiből:

${\tilde{g}}_{22}=r_0^2$ és ${\tilde{g}}_{33}=r_0^2{\sin }^2\theta$

Valamint

$g_{22}=r^2$ és $g_{33}=r^2{\sin }^2\theta$

Tehát a metrika alakja a következő lesz:

$d{s}^2=A\left(r\right)d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2+B\left(r\right)d{t}^2$

Vagy hagyományos jelölésmóddal

$g_{ik}=\left[\begin{array}{cccc}-f^2& 0& 0& 0\\ 0& h^2& 0& 0\\ 0& 0& r^2& 0\\ 0& 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right]$

A Christoffel-szimbólumok kiszámítása

Hosszas számolás után a metrikus tenzorból kiszámíthatók a Christoffel-szimbólumok.

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^0=\left[\begin{array}{cccc}0& f^{\prime }/f& 0& 0\\ f^{\prime }/f& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Ahol a vessző az r szerinti deriválást jelöli.

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^1=\left[\begin{array}{cccc}f{f}^{\prime }/h^2& 0& 0& 0\\ 0& h^{\prime }/h& 0& 0\\ 0& 0& -r/h^2& 0\\ 0& 0& 0& -r{\sin }^2\theta /h^2\end{array}\right]$

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1/r& 0\\ 0& 1/r& 0& 0\\ 0& 0& 0& -\sin \theta \cos \theta \end{array}\right]$

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1/r\\ 0& 0& 0& \cot \theta \\ 0& 1/r& \cot \theta & 0\end{array}\right]$

$A(r)$ és $B(r)$ kiszámítása

Használjuk a vákuum esetén érvényes

${\mathrm{R}}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}\mathrm{=}\mathrm{0}$

egyenletet. A 10 független egyenletből 6 triviálisan teljesül. A maradék négy a következő

$\mathrm{4}\dot{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{B}}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{r}\dot{\mathrm{A}}\dot{\mathrm{B}}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{r}{\dot{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{0}$

$\mathrm{r}\dot{\mathrm{A}}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}\mathrm{B}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{-}\mathrm{r}\dot{\mathrm{B}}\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{0}$

$\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{B}}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{r}\dot{\mathrm{A}}\dot{\mathrm{B}}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{r}{\dot{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{A}\mathrm{-}\mathrm{4}\dot{\mathrm{B}}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{0}$

(A 4. egyenlet ${\sin }^2\theta$ -szorosa a 2. egyenletnek.)

Itt a pont az r szerinti deriválást jelöli. Kivonva az első egyenletet a harmadikból

$\dot{\mathrm{A}}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{A}\dot{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{A}\mathrm{(}\mathrm{r}\mathrm{)}\mathrm{B}\mathrm{(}\mathrm{r}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{K}$

Továbbá $A(r)B(r)=K$

$\mathrm{r}\dot{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{A}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{A}\mathrm{)}$

aminek az általános megoldása:

$\mathrm{A}\mathrm{(}\mathrm{r}\mathrm{)}\mathrm{=}{(1+\frac{1}{Sr})}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

Itt $S$ egy nem nulla valós szám (hasonlóan $K$ -hoz). Tehát a statikus gömbszimmetrikus általános megoldás a metrikára:

$\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{(1+\frac{1}{Sr})}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{d}{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{d}{\mathrm{\theta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{\theta }\mathrm{d}{\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{K}(1+\frac{1}{Sr})\mathrm{d}{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}}$

Gyenge tér közelítés $K$ és $S$ meghatározására

A metrikának gyenge tér közelítésben vissza kell adnia a newtoni tömegvonzást. Továbbá, ha a tömeggel nullához közelítünk a Minkowski-téridőt kell megkapnunk.

$0=\delta \int \frac{ds}{dt}dt=\delta \int (KE+P{E}_g)dt$

egyenletet. Gyenge tér közelítésben:

$g_{44}=K(1+\frac{1}{Sr})\approx -c^2+\frac{2Gm}{r}=-c^2(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})$

ahol $G$ a gravitációs állandó, $m$ a tömeg és $c$ a fénysebesség

$K=-c^2$ és $\frac{1}{S}=-\frac{2Gm}{c^2}$

Így:

$A(r)={(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})}^{-1}$ és $B(r)=-c^2(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})$

Tehát a Schwarzschild-metrika a következő alakú lesz:

$d{s}^2={(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)-c^2(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})d{t}^2$

Irodalom

• Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. Sablon:ISBN

Lásd még

• Kerr-metrika
• Reissner–Nordström-metrika