Bessel-egyenlőtlenség

A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.

Legyen $H$ Hilbert-tér, és legyen $\{e_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ egy ortonormált rendszer $H$-ban. Ekkor minden $x\in H$-ra:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.

Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.

A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:

$0\le {\Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2,$