Smoluchowski-féle koagulációs egyenlet

Sablon:Nincs forrás A Smoluchowski-féle koagulációs egyenlet egy integrodifferenciál-egyenlet, amely megadja valamely $x$ egységből álló komplex (továbbiakban $x$-mer) képződésének reakciósebességi állandóját bizonyos körülmények fennállása esetén. Az egyenletet Marian Smoluchowski lengyel fizikus publikálta 1916-ban.

Feltételek

Smoluchowski koagulációs elméletében a következő feltételeket köti ki:

• Az $y$ és $x-y$ monomerből álló komplexek (továbbiakban $y$-mer és $x-y$-mer) aggregációjának $K_{y,x-y}$ sebességi állandója valamennyi $y$- és $x-y$-mer komplexpárra azonos, vagyis a $K_{y,x-y}=K_{x-y,y}$ sebességi állandó egy komplexpár lehetséges konfigurációs állapotainak lehetséges orientációban történő ütközéseire vonatkozó sebességi állandók átlaga.
• A komplexek reakciója (ütközése) során létrejövő kötések felszakíthatatlanok, vagyis a növekedés irreverzibilis.
• Az $x$-merek $n_x$ koncentrációja a tér minden részében azonos, így valamennyi mennyiség térbeli elhelyezkedéstől való függését elhanyagoljuk.
• Az oldat kellően híg ahhoz, hogy az $y$- és $x-y$-merek közötti reakció $K_{y,x-y}$ állandójára ne legyen hatással további komplexek jelenléte. Következésképpen valamennyi reakció bimolekuláris, három vagy több komplex egyidejű reakcióját figyelmen kívül hagyjuk.

Diszkrét eset

Diszkrét változókat feltételezve a következő egyenletet kapjuk:

$\frac{\mathrm{\Delta }{n}_x(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}\sum _{y=1}^{x-1}{K}_{y,x-y}{n}_y(t)n_{x-y}(t)-n_x(t)\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{x,y}{n}_y(t)$

Az egyenlet bal oldala az $x$-merek számának időbeli változása. Az egyenlet jobb oldala egy különbség. A különbség első részének (a kisebbítendő) alapja az $x$-merek bimolekuláris képződési reakciójának sebességi egyenlete:

$K_{y,x-y}{n}_y(t)n_{x-y}(t)$

ahol $K_{y,x-y}$ az $y$-merek és $x-y$-merek reakciójának sebességi állandója, $n_y(t)$ az $y$-merek, $n_{x-y}(t)$ az $x-y$-merek (időtől függő) száma. Az $y$-mer

az $x$-merek $y$- és $x-y$-merekből való képződésének átlagos sebességét adja meg, a második része (a kivonandó) az $x$-merek $y$-merekkel való ütközés folytán történő továbbnövekedés miatti fogyásának sebességét mutatja. Mindkettő megfelel egy bimolekuláris reakció kinetikai egyenletének.

Folytonos eset

Folytonosnak tekintve a változókat a következőképpen alakul az egyenlet:

$\frac{\partial n_x(t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{K}_{y,x-y}{n}_y(t)n_{x-y}(t)dy-n_x(t)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_{x,y}{n}_y(t)dy$

Az egyenlet bal oldala az $x$-merek számának idő szerinti parciális deriváltja