Cauchy–Hadamard-tétel

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\mathrm{\infty }$

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az $\frac{1}{1+x^2}$ valós függvény hatványsora a (−1, 1) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás

Legyen r₀ olyan, hogy $|a_n|r_0^n\le M$ egy véges M nem negatív valós számra. Másként

$r_0\le \frac{\sqrt[n]{M}}{\sqrt[n]{|a_n|}}.$

Határátmenettel

$r_0\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

$R\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$

Legyen most

$0\le r_0<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}.$

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

$r_0<\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}},$

ebből

$|a_n|r_0^n<1,$ ha n elég nagy.

$|a_n|r_0^n$ korlátos, tehát van ilyen M, és így $r_0\le R.$ r₀-lal az alsó határértékhez (limesz inferiorhoz) tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Források

Halász Gábor: Komplex függvénytan Sablon:Portál