Numerikus sorok

Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

$1-1+1-1+1-\dots$

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\dots$

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17. században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Alapvető fogalmak

Ha (x_n) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (x_n) számsorozatból képezett soron) az

$((x_n),(s_n))$

rendezett párt értjük, ahol

$s_n=\sum _{k=1}^n{x}_k=x_1+x_2+...+x_n$

az (x_n) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (x_n)-ből képezett sor jelölésére a

$\sum (x_n)$

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az x_n számot a sor n-edik tagjának nevezzük. x_n az s_n összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (x_n) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük: $s_n=\sum _{k=m}^n{x}_k$

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (s_n) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(x_n) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (s_n) sorozata konvergens. Ha ∑(x_n) konvergens, akkor az (s_n) határértékét a ∑(x_n) sor összegének nevezzük és a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(x_n) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott $\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{q}{1-q}$

Konvergenciakritériumok

Cauchy-konvergenciakritérium

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

1. ∑(a_n) végtelen sor konvergens
2. $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in {𝐙}^{+}\mathrm{\forall }n,m\in {𝐙}^{+}:n>m>N\Rightarrow \left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|<\epsilon$

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

$s_{n+k}-s_n=\sum _{i=n+1}^{n+k}{a}_i$.

Szükséges kritérium

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(a_n) sor konvergens, akkor a_n $\to$ 0.

Ugyanis, legyen a sor összege A ∈ R és a ∑(a_n) részletösszegeinek sorozata (s_n). Mivel (s_n-1) részsorozata a konvergens (s_n)-nek ezért:

$a_n=s_n-s_{n-1}$

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

$a_n\to A-A=0$.

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

$\sum _{(1)}\left(\frac{1}{n}\right)$

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

$\left|\sum _{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\right|=\sum _{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\ge \sum _{k=N+1}^{2N}\frac{1}{2N}=\frac{N}{2N}=\frac{1}{2}=\epsilon$

Egy másik jellegzetes példa. A

$\sum _{(0)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkopikus összeg és

$\sum _{k=0}^{n-1}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2}=$

$=-\sqrt{0}+\sqrt{n-1}=0+\sqrt{n-1}\to \mathrm{\infty }$

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Végtelen sorok és műveletek

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden $c\in ℝ$-re a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}c\cdot a_n$ sor is konvergens, és az összege $c\cdot A$.

Bizonyítás:Ha a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor n-edik részletösszege $s_n$, akkor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}c\cdot a_n$ sor n-edik részletösszege $c\cdot s_n$. Így az állítás abból következik, hogy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c\cdot s_n=c\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=c\cdot A$

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)$ sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei $s_n$ illetve $t_n$, akkor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)$ sor n-edik részletösszegei $s_n+t_n$. Így az állítás következik abból, hogy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(s_n+t_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_n=A+B$.

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor tagjai közül az $a_k$ tagot elhagyjuk. Ekkor $n\ge k$ esetén az új sor n-edik részletösszege $s_n-a_k$ lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata $A-a_k$-hoz tart. Ha viszont a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részletösszege $s_n+c$ lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ végtelen sor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ sorok összefésülése, ha a $c_n$ sorozat az $a_n$ és $b_n$ tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az $a_n$, illetve $b_n$ tagok sorrendje a $(c_n)$ sorozatban ugyanaz, mint az $(a_n)$ illetve $(b_n)$ sorozatban.

Állítás: Ha a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

Abszolút és feltételes konvergencia

A $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden $\epsilon$>0-hoz van olyan N, hogy $|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_m|<\epsilon$ teljesül minden $N\le n<m$-re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m|\le |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_m|<\epsilon$ is teljesül, tehát a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor egy átrendezettje. Adott $\epsilon$>0-hoz válasszunk egy olyan N-et, hogy $|a_N|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_m|<\epsilon$ teljesüljön minden m>N-re. Az $a_1,\cdots ,a_N$ tagok mind szerepelnek a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a $b_m,\cdots ,b_k$ tagoknak az $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az $a_N,\cdots ,a_m$ tagok között. Így $|b_M|+|b_{M+1}|+\cdots +|b_k|\le |a_N|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_m|<\epsilon$. Ebből következik, hogy a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|b_n|$ sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$ és $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=B$. Adott $\epsilon$>0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a $d_k=(a_1+\cdots +a_k)-(b_1+\cdots +b_k)$ különbségében minden $a_n(n\le N)$ tag kiesik, tehát $d_k$ olyan $\pm a_n$ alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re $|d_k|\le |a_N|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_m|<\epsilon$ Ezzel beláttuk, hogy $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_k=0$. Azonban $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_k=A-B$, tehát A=B.

A $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ végtelen sort feltételesen konvergesnek nevezzük, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

Lásd még

• Cauchy-konvergenciakritérium
• Gyökkritérium
• Hányadoskritérium
• Majoráns kritérium

Irodalom

• Laczkovich Miklós - T. Sós Vera, Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007 Sablon:ISBN

• Császár Ákos, Valós analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999. Sablon:ISBN