Üres függvény

A matematikai üres függvény fogalma alatt olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya az üres halmaz. Minden Sablon:Math halmazhoz pontosan egy ilyen üres függvény létezik:

$f_A:\mathrm{\varnothing }\to A.$

Az üres függvény grafikonja a $\mathrm{\varnothing }\times A$ Descartes-szorzat részhalmaza. Mivel a szorzat üres, egyetlen részhalmaza maga az üres halmaz. Ez érvényes hozzárendelés, hiszen az $\mathrm{\varnothing }$ értelmezési tartomány minden Sablon:Math-ére létezik olyan egyedi Sablon:Math az Sablon:Math értékkészletben, hogy $x,y\in \mathrm{\varnothing }\times A$. Ez az állítás az üres igazságok mintapéldánya, hiszen nincsen Sablon:Math az értelmezési tartományban.

Az $\mathrm{\varnothing }\to \mathrm{\varnothing }$ hozzárendelést megvalósító üres függvény létezése szükséges ahhoz, hogy a halmazok kategóriája (Set) kategória lehessen, mivel a kategória minden objektumának rendelkeznie kell identitásmorfizmussal, és az egyetlen üres függvény az $\mathrm{\varnothing }$ objektum identitása. A kardinális aritmetikában azt jelenti, hogy minden Sablon:Math kardinális számra Sablon:Math; ez különösen mély, ha a [[0^0|Sablon:Math]]-t tekintjük.

Jegyzetek

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).