Zsigmondy-tétel

A matematika, azon belül a számelmélet területén a Karl Zsigmondyról vagy Zsigmondy Károlyról elnevezett Zsigmondy-tétel azt állítja, hogy ha Sablon:Nowrap relatív prím egész számok, akkor bármely n ≥ 1 számhoz tartozik olyan p prímszám (itt: primitív prímosztó), ami osztója az Sablon:Nowrap számnak, de nem osztója az Sablon:Nowrap-nek egyetlen pozitív egész Sablon:Nowrap értékre sem, a következő kivételektől eltekintve:

Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap; ekkor Sablon:Nowrap = 1, aminek nincsenek prímosztói.
Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap kettőhatvány; ilyenkor bármilyen páratlan prímtényező, ami szerepel Sablon:Nowrap = Sablon:Nowrap-ben szükségképpen az Sablon:Nowrap-ben szerepel, ami szintén páros
Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap; ebben az esetben Sablon:Nowrap = 63 = 3²7 = Sablon:Nowrap

Ez az eredmény Bang tételének általánosítása, amely szerint ha Sablon:Nowrap és n nem egyenlő 6-tal, akkor Sablon:Nowrap rendelkezik olyan prímosztóval, amely nem osztója Sablon:Nowrap-nek egyetlen Sablon:Nowrap számra sem.

Hasonlóan, Sablon:Nowrap-nek legalább egy primitív prímosztója van az Sablon:Nowrap eset kivételével.

Zsigmondy tétele gyakran jól jön, különösen a csoportelméletben, ahol annak bizonyítására használják, hogy különböző csoportoknak eltér a rendjük, kivéve amikor ismert róluk, hogy megegyezik.

Története

A tételt Zsigmondy ismerte fel, mialatt Bécsben tartózkodott 1894 és 1925 között.

Általánosításai

Legyen $(a_{n})_{n \geq 1}$ pozitív egész számokból álló sorozat. A sorozathoz tartozó Zsigmondy-halmaz a következő:

$𝒵 (a_{n}) = {n \geq 1 : a_{n} nem rendelkezik primitív prímosztóval} .$

tehát azon $n$ indexek halmaza, melyekre bármely $a_{n}$ -t osztó prímszám valamely $a_{m}$ -nek is osztója, ahol $m < n$ . A Zsigmondy-tételből tehát következik, hogy $𝒵 (a^{n} - b^{n}) \subset {1, 2, 6}$ , a Carmichael-tétel szerint a Fibonacci-sorozat Zsigmondy-halmaza ${1, 2, 6, 12}$ , míg a Pell-sorozaté ${1}$ . 2001-ben Bilu, Hanrot és Voutier^[1] bebizonyították, hogy általánosságban, ha $(a_{n})_{n \geq 1}$ egy Lucas-sorozat vagy Lehmer-sorozat, akkor $𝒵 (a_{n}) \subseteq {1 \leq n \leq 30}$ . A Lucas- és Lehmer-sorozatok az oszthatósági sorozatok speciális esetei.

Szintén ismert, hogy ha $(W_{n})_{n \geq 1}$ egy elliptikus oszthatósági sorozat, akkor a hozzá tartozó $𝒵 (W_{n})$ Zsigmondy-halmaz véges.^[2] Ez az eredmény nem túl hatásos abban az értelemben, hogy a bizonyítás nem ad felső korlátot $𝒵 (W_{n})$ legnagyobb elemére nézve, lehetséges viszont hatásos felső korlátot adni $𝒵 (W_{n})$ elemszámára.^[3]

Kapcsolódó szócikkek

Carmichael-tétel

Jegyzetek

Sablon:Reflist

További információk

Sablon:Mathworld

↑ Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
↑ J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
↑ P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

[1] Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122

[2] J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237

[3] P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

[1]

[2]

[3]

Zsigmondy-tétel

Tartalomjegyzék

Története

Általánosításai

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

További információk

Navigációs menü

Zsigmondy-tétel

Története

Általánosításai

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

További információk

Navigációs menü

Keresés