Viète-formulák

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen $P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$ egy n-edfokú polinom és $x_1,x_2,...,x_n$ a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:

$\{\begin{array}{cc}& x_1+x_2+...+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ & x_1{x}_2+x_1{x}_3+...+x_1{x}_n+...+x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ & ...\\ & x_1{x}_2...x_k+x_2{x}_3...x_{k-1}{x}_{k+1}+...+x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}...x_n={(-1)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\\ & ...\\ & x_1{x}_2...x_n={(-1)}^n\frac{a_0}{a_n}\\ \end{array}$

A bizonyítása azon múlik, hogy a $P\left(x\right)$ polinom felírható $P\left(x\right)=a_n(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3)...(x-x_n)$ gyöktényezős alakban.

Példák

Ha egy másodfokú $P\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ polinom gyökei $x_1,x_2$, akkor felírható $P\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$ gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:

$\{\begin{array}{cc}& x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ & x_1{x}_2=\frac{c}{a}\\ \end{array}$

Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ megoldóképletéből is.

Harmadfokú $P\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ polinom esetén gyöktényezős alakja $P\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, ahol $x_{1,2,3}$ a polinom gyökei és a Viète-formulák:

$\{\begin{array}{cc}& x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ & x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}\\ & x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\\ \end{array}$

Általánosítása

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források

• Sablon:Mathworld
• Többváltozós polinomokSablon:Halott link