Udvarias számok

A 15 = 4 + 5 + 6 udvarias felbontást szemléltető Young-ábra

A számelmélet területén az udvarias számok olyan pozitív egész számok, melyek felírhatók két vagy több egymást követő pozitív egész szám összegeként. A többi pozitív egész szám udvariatlan. Az udvarias számokat lépcsős számoknak, esetleg lépcsőszámoknak is nevezik, mivel az udvarias számok partíciókra bontását vizuálisan szemléltető, francia stílusú Young-ábrák lépcsőkre emlékeztetnek. Ha az összegben szereplő számok mind nagyobbak egynél, az összeget trapézszámoknak is nevezik, mivel trapéz formában elhelyezkedő pontok mintázatát jelképezi.

A számok egymást követő egészek összegére való felbontásával és az ilyen jellegű felbontások számának meghatározásával behatóan foglalkozott Sylvester, Mason, Leveque és számos kortárs matematikus is.

Példák és jellemzés

Az első néhány udvarias szám:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... Sablon:OEIS.

Az udvariatlan számok pontosan megegyeznek a kettőhatványokkal. Ez a Lambek–Moser-tétel folyománya, mely szerint az n-edik udvarias szám éppen ƒ(n + 1), ahol

$f(n)=n+\lfloor {\log }_2(n+{\log }_{2}n)\rfloor .$

Udvariasság

Egy pozitív szám udvariassága vagy udvariasságának mértéke meghatározza, hogy hányféleképpen lehet kifejezni egymást követő egész számok összegeként. Minden x egész szám udvariassága megegyezik x egynél nagyobb páratlan osztóinak a számával. Az 1, 2, 3, … számok udvariasságának mértéke:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... Sablon:OEIS.

Például 9 udvariassága 2, mert két páratlan >1 osztója van, a 3 és önmaga, így két udvarias reprezentációja:

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

15 udvariasságának mértéke 3, mivel három páratlan osztója van, a 3, 5 és 15, így (ahogy a cribbage-játékosoknak ismerős lehet) három udvarias reprezentációja létezik:

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Egy pozitív szám udvariasságának kiszámítására egyszerű módszer, ha felbontjuk prímtényezőire, a 2-nél nagyobb prímtényezők kitevőihez egyet adunk, összeszorozzuk az így kapott számokat és kivonunk az eredményből egyet. Például a 90 udvariasságának mértéke 5, mert $90=2\times 3^2\times 5^1$; a 3 és 5 kitevői 2, illetve 1; a módszert alkalmazva $(2+1)\times (1+1)-1=5$.

Az udvarias reprezentáció megszerkesztése a páratlan osztókból

A páratlan osztók és az udvarias reprezentációk közötti kapcsolat megértéséhez tekintsünk egy x számot az y > 1 páratlan osztóval. Ekkor y egymást követő egész szám helyezkedik el x/y körül (így átlaguk pontosan x/y), melyek összege x:

$x=\sum _{i=\frac{x}{y}-\frac{y-1}{2}}^{\frac{x}{y}+\frac{y-1}{2}}i.$

A tagok némelyike nulla vagy negatív lehet. A nullákat el lehet hagyni, a negatív tagokat pedig fel lehet használni pozitív tagok semlegesítésére, ami x udvarias reprezentációjához vezet. (Az y > 1 követelmény miatt az udvarias reprezentáció biztosan egynél több tagból áll; y = 1-re ugyanez a konstrukció csak a triviális egytagú x = x eredményt adná.) Például az x = 14 udvarias szám egyetlen nemtriviális páratlan osztója a 7. Ebből adódik a 14/7 = 2 körül elhelyezkedő 7 egymást követő szám:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Az első tag, a −1 „kiüti” a későbbi +1-et, a második tag, a nulla pedig elhagyható, ami a következő udvarias kifejtéshez vezet:

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

Megfordítva, x minden udvarias kifejtése megkapható a fenti konstrukció segítségével. Ha egy kifejtés páratlan számú tagból áll, x/y a középső érték, ha pedig páros számú tagból, melynek minimális értéke m, akkor kiterjeszthető olyan egyedi módon egy az eredetivel megegyező összegű, páratlan számú tagból álló hosszabb sorozattá, hogy hozzávesszük a következő 2m − 1 darab számot: −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., −(m − 2), −(m − 1). Ezen kiterjesztés után újra x/y lesz a középső tag. A konstrukció formájából adódóan a szám udvarias kifejtései és egynél nagyobb páratlan osztói között 1:1 megfeleltetés hozható létre, amivel bijektív bizonyítás adható az udvarias számok udvariasságának karakterizációjára. Kicsit általánosabban, ugyanez a gondolatmenet 2:1 megfeleltetést hoz létre az egymást követő egész számok összegeként történő felírások számára (megengedve a nullát, a negatív számokat és az egy tagból álló felírásokat) és a páratlan osztók (az 1-et is beleértve) között.

Az eredmény másik általánosítása, hogy bármely n szám esetén megegyezik az n k darab páratlan nagyságú partícióra való osztásainak száma az n legfeljebb k darab különböző, egymást követő számokból álló „futamokra” való osztásainak számával. Itt egy-egy „futam” egy vagy több egymást követő értéket jelent olyan módon, hogy a rákövetkező kisebb, illetve nagyobb értékek nem tagjai az adott partíciónak; például a 10 következő particionálása: 10 = 1 + 4 + 5 két futamból áll, az 1-ből, illetve a 4 + 5-ből. Egy udvarias felbontás egyetlen futamból áll, és az egyetlen, d értékből álló partíció ekvivalens n felbontásával a d ⋅ (n/d) szorzatra, így tehát az eredmény k = 1 speciális esetéből ismét kiviláglik az udvarias felbontások és a páratlan szorzótényezőkre (itt beleértve a triviális n = n-t és a triviális páratlan 1 faktort) való bontások egyenértékűsége.

Trapézszámok

Ha egy udvarias felbontás 1-gyel kezdődik, az így kifejezett szám egy háromszögszám:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\cdots +n.$

Máskülönben a szám két háromszögszám különbségeként írható fel:

$i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_j-T_{i-1}.$

Utóbbi esetben az így kifejezett szám egy trapézszám. A trapézszám tehát olyan udvarias szám, melyben az udvarias felbontás minden tagja nagyobb egynél. Az udvarias számok közül kizárólag azok a számok nem trapézszámok, melyek egyetlen nemtriviális páratlan osztóval rendelkező háromszögszámok; ennek oka, hogy a korábban leírt bijekciónak megfelelően a páratlan osztó felel meg a háromszögű felbontásnak és nem létezik más udvarias felbontás. Ezért a nem-trapéz udvarias számok éppen a prímszámok és kettőhatványok szorzataként felírható számok. Jones és Lord megfigyelése szerint pontosan kétfajta ilyen alakú háromszögszám létezik Sablon:OEIS:

1. a páros tökéletes számok 2^n − 1(2ⁿ − 1), melyek egy 2ⁿ − 1 Mersenne-prím és a legközelebbi kettőhatvány felével való szorzatból képződnek, továbbá
2. a 2^n − 1(2ⁿ + 1) alakú szorzatai egy 2ⁿ + 1 Fermat-prímnek a legközelebbi kettőhatvány felével.

Például a tökéletes számok közül a 28 = 2^3 − 1(2³ − 1), a másik fajtából pedig a 136 = 2^4 − 1(2⁴ + 1) mindkettő udvarias háromszögszámok, melyek nem trapézszámok. A sejtések szerint véges számú Fermat-prím létezik (melyek közül csak ötöt – 3, 5, 17, 257 és 65,537 – fedeztek fel eddig), de végtelen sok Mersenne-prím – ha utóbbi igaz, akkor szintén végtelen sok udvarias nem-trapézszám létezik.

További információk

• Sablon:Planetmath reference
• Sablon:Citation
• An Introduction to Runsums, R. Knott.
• Is there any pattern to the set of trapezoidal numbers? Intellectualism.org question of the day, October 2, 2003. With a diagram showing trapezoidal numbers color-coded by the number of terms in their expansions.