Trigonometrikus területképlet

A trigonometrikus területképlet egy tetszőleges háromszög területét két oldal hossza és a közrezárt szög szinusza segítségével fejezi ki.

$T=\frac{a{m}_a}{2}=\frac{ab\sin \gamma }{2}$

A tétel bizonyítása

1. hegyesszögű háromszög esetén ($\gamma$ hegyesszög): $\frac{a{m}_a}{2}=\frac{ab\sin \gamma }{2}$
2. tompaszögű háromszög esetén, $\gamma$ hegyesszög: $\frac{b{m}_b}{2}=\frac{ab\sin \gamma }{2}$
3. tompaszögű háromszög esetén, $\gamma$ tompaszög: $m_a=b\sin (180^{\circ }-\gamma )$ $⟶$ $\frac{a{m}_a}{2}=\frac{ab\sin (180^{\circ }-\gamma )}{2}$

de $\gamma$ tompaszögű, tehát $\sin (180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma$

Ekvivalens alak

Mivel sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), azért a trigonometrikus területképlet így is írható:

$T=\frac{1}{2}ab\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}bc\sin (\beta +\gamma )=\frac{1}{2}ca\sin (\gamma +\alpha ).$

Speciális esetek

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög egyik befogóhoz tartozó magassága megegyezik a másik befogóval

Ha a és b egy derékszögű háromszög befogói, akkor a trigonometrikus területképlet a derékszögű háromszög területképletébe megy át: $T=\frac{a\cdot b}{2}$,

mivelhogy a derékszög szinusza 1.

Egyenlő szárú háromszög

Az a szárú, b alapú egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága illeszkedik az alap felezőmerőlegesére, így a Pitagorasz-tétellel $m_b=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}$, így $T=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$.

Egyenlő oldalú háromszög

60 fok szinusza $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ezt behelyettesítve az a oldalú egyenlő oldalú háromszög területe $T=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Sablon:Csonk-dátum