Tizenötszög

A geometriában a tizenötszög egy tizenötoldalú sokszög.

A szabályos sokszögek szögeire ismert képlet n=15 esetben a következőt adja:

$\alpha =\frac{(n-2)}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{13}{15}\cdot 180^{\circ }=156^{\circ }$

tehát a szabályos tizenötszög belső szögei 156 fokosak.

A szabályos tizenötszög szerkesztése

A szabályos tizenötszög szerkeszthető körzővel és vonalzóval.

Az alábbi animáció egy 36 lépéses szerkesztést mutat be, amely Euklidesztől származik. (Az Elemek című művében a VI. könyv 27. állítása.) Vegyük észre, hogy a körzőnyílás nem változik 14. és a 21. lépések között:

A szabályos tizenötszög területe

A szabályos sokszögek területére ismert képlet a oldalhosszra n=15 esetben:

$A=\frac{n}{4}{a}^2\text{ctg}\frac{\pi }{n}=\frac{15}{4}{a}^2\text{ctg}\frac{\pi }{15}=\frac{15a^2}{8}(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}})\approx 17,6424\cdot a^2$

ami a köréírt kör sugarának (R) függvényében a következőképpen alakul n=15 esetben:

$A=n\cdot R^2\cdot \sin \frac{\pi }{n}\cdot \cos \frac{\pi }{n}=15\cdot R^2\cdot \sin \frac{\pi }{15}\cdot \cos \frac{\pi }{15}\approx 3,0490697928464843\cdot R^2$

a beírt kör sugarának (r) függvényeként pedig így:

$A=n\cdot r^2\cdot \text{tg}\frac{\pi }{n}=15\cdot r^2\cdot \text{tg}\frac{\pi }{15}\approx 3,1866838524672563\cdot r^2$

Külső hivatkozások

• Sablon:MathWorld