Töröttvonalfüggvény

A matematikában töröttvonalfüggvénynek nevezünk f[a,b]→$ℝ$ függvényeket, ha van olyan $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ felosztás, hogy f mindegyik [x_i-1,x_i] intervallumban lineáris, azaz m·x+c alakú.

Töröttvonalfüggvény közelítése

Bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal. Legyen ugyanis az f töröttvonalfüggvény meredeksége az [x_i-1,x_i] intervallumban m_i, és tekintsük a

${\mathrm{\Phi }}_i(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ha }x\le x_{i-1},\\ (m_i-m_{i-1})\cdot (x-x_{i-1}),& \text{ha }x\ge x_{i-1}\end{array}$

függvényeket (i=1,...,n), ahol m₀=0. Ekkor a

$\mathrm{\Phi }=\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Phi }}_i$

függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az [x_i-1,x_i] intervallumban m_i minden i=1,...n-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy

$f=\mathrm{\Phi }+f\left(a\right)$.

Most belátjuk, hogy mindegyik Φ_i függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az [a,b] intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az x_i-1=c és m=(m_i-m_i-1/2) jelölést. Ekkor

${\mathrm{\Phi }}_i(x)=m\cdot (|x-c|+(x-c))$

minden x-re. Válasszunk egy olyan r számot, amelyre c-r<a<b<c+r. Az előző példa szerint minden ε>0-hoz létezik olyan p polinom, hogy |p(x)-|x||<ε minden x∈[-1,1]-re. Ekkor a

$q_i(x)=mr\cdot p\left(\frac{x-c}{r}\right)+m\cdot (x-c)$

polinomra teljesül, hogy

$|q_i(x)-{\mathrm{\Phi }}_i(x)|<|m|r\cdot \epsilon$

minden x∈[c-r,c+r]-re, tehát minden x∈[a,b]-re is. Így a

$q=f(a)+\sum _{i=1}^n{q}_i$

polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy

$|q(x)-f(x)|<K\cdot \epsilon$

minden x∈[a,b]-re, ahol K konstans nem függ ε-tól.

Források

Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis II. Sablon:ISBN