Többváltozós eloszlásfüggvény

Egy többváltozós eloszlásfüggvény a valószínűségszámításban egy valós értékű függvény, melyet többdimenziós valószínűségeloszlások, azaz valószínűségi vektorváltozók eloszlásának vizsgálatára használnak. Az eloszlásfüggvény magasabb dimenziós megfelelője; az egyváltozós esethez hasonlóan egyértelműen jellemzi a valószínűségi vektorváltozókat a korrespondenciatétel szerint. Ezáltal a magasabb dimenziós valószínűségeloszlások is vizsgálhatók mértékelméleti eszközökkel.

Használják még a következő elnevezéseket: n-dimenziós eloszlásfüggvény, eloszlás ${ℝ}^n$-en, vagy a mértékelméleti értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvénytől való megkülönböztetésre szűkebb értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvény.

Jelölések

Az ${ℝ}^n$-beli $x,y$ vektorok esetén az összehasonlítást koordinátánként végezzük, azaz

$x\le y$ akkor és csak akkor, ha $x_i\le y_i$ minden $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ indexre.

A továbbiakban $x\in {ℝ}^n$ esetén

$(-\mathrm{\infty },x]:=\{y\in {ℝ}^n|y\le x\}$

illetve koordinátánként

$(-\mathrm{\infty },x]=(-\mathrm{\infty },x_1]\times (-\mathrm{\infty },x_2]\times \dots \times (-\mathrm{\infty },x_n]$

Definíció

A fenti jelölésekkel a definíció hasonlóvá válik az egydimenziós esethez. Ha $P$ valószínűségeloszlás egy $({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$ valószínűségi mezőn, azaz többdimenziós valószínűségeloszlás, akkor $P$ eloszlásfüggvénye egy $F_P:{ℝ}^n\to [0,1]$ függvény,

$F_P(x):=P((-\mathrm{\infty },x])$.

Ha $X$ $n$ dimenziós valószínűségi változó, vagyis $F_X:{ℝ}^n\to [0,1]$, és definíciója

$F_X(x):=P(X<x)$.

Ekkor $F_X$ $X$ (többdimenziós) eloszlásfüggvénye.

A definíció koordinátánként:

$F_X(x_1,x_2,\dots ,x_n):=P(X_1<x_1,X_2<x_2,\dots ,X_n<x_n)$,

ahol $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n{)}^T$. Így a valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye a koordinták közös eloszlásfüggvénye.

Tulajdonságok

Minden $F=F_P$ esetén teljesül:

• Minden változóban balról folytonos.
• Téglamonoton, azaz ha $a\le b$, akkor ${\mathrm{\Delta }}_a^{b}F\ge 0$
• Határértékek:

$\underset{\underset{i}{\min }{x}_i\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$ és

$\underset{\underset{i}{\min }{x}_i\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$

A korrespondenciatétel szerint ez megfordítható; amelyik függvény ezekkel a tulajdonságokkal bír, az eloszlásfüggvény.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book