Sztrofoid

Sztrofoid

A sztrofoid (a görög στροφή – hurokból) harmadrendű algebrai görbe. Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Egy x,y derékszögű koordináta-rendszerben vegyünk fel a negatív x-tengelyen agy tetszőleges X pontot. Az X pontból húzzunk egy egy (zöld) egyenest, mely az y-tengelyt Y pontban metszi. Az OY távolságot mérjük rá a zöld egyenesre az Y ponttól két irányban, ezzel kijelöljük a P és Q pontot, melyekre igaz: PY=YP=OY. A P és Q pontok mértani helye a sztrofoid görbe.

Egyenlete

Egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

$x^2(a+x)+y^2(x-a)=0,a>0$,

ahol a a csúcspont és az origó távolsága, vagy más alakban:

$y=\pm x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$.

Paraméteres egyenlete:

$\{\begin{array}{c}x=a\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)\\ y=au\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)\end{array}$,

ahol

$u=\mathrm{tg}\phi$.

Polárkoordinátákkal:

$\rho =-\frac{a\cos 2\phi }{\cos \phi }$.

Tulajdonságai

A koordináta-rendszer kezdőpontja, az (O pont), a görbe szinguláris pontja, ahol a görbe érintői az x=y és x=-y egyenesek. Az x=a egyenes a görbe aszimptotája. A görbe csúcspontja a (-a,0) pont. A hurok területe:

$T_1=2a^2-\pi \frac{a^2}{2}$,

a görbe és az aszimptota közötti terület:

$T_2=T_1=2a^2-\pi \frac{a^2}{2}$.

Története

A sztrofoidot először Gilles de Roberval tanulmányozta 1645-ben. Ő ezt a görbét pteroidnak (görögül πτερον=szárny) nevezte. A sztrofoid nevet 1849-ben kapta.

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.