Szimplektikus integrátor

A szimplektikus integrátor (SI) a numerikus integrálás egy módszere, speciálisan a klasszikus mechanikában és a szimplektikus geometriában előforduló differenciálegyenletek megoldására.

A szimplektikus integrátorok a geometriai integrátorok alosztálya, melyek definíció szerint kanonikus transzformációk. Alkalmazásuk a molekuláris dinamikában, gyorsítófizikában és égi mechanikában fordul elő.

Bevezetés

A szimplektikus integrátorokat a Hamilton-egyenletek megoldására készítették:

$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}\text{and}\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},$

ahol $q$ a pozíció koordináták, $p$ a momentum koordináták, és $H$ a Hamilton függvény. $(q,p)$ koordináták együttesét kanonikus koordinátáknak hívják.(Hamilton-féle mechanika)

A legtöbb numerikus módszer, mint például az Euler-módszer, és a klasszikus Runge–Kutta-módszer, nem szimplektikus integrátorok.

A részekre osztás módszere

Feltételezzük, hogy a Hamilton függvény részekre osztható, és felírható a következő formában:

$H(p,q)=T(p)+V(q).(1)$

T, a kinetikus energia V, a potenciális energia Vezessük be a $z=(q,p)$ szimbólumot, a kanonikus koordinátákra. Ekkor a bevezetőben említett Hamilton egyenletek kifejezhetők:

$\dot{z}=\{z,H(z)\}(2)$

Ahol $\{\cdot ,\cdot \}$ a Poisson zárójel. Továbbá bevezetjük a $D_H=\{\cdot ,H\}$ operátort. Ekkor:

$\dot{z}=D_{H}z.$

A formális megoldás:

$z(\tau )=\exp (\tau D_H)z(0).(3)$

Így:

$z(\tau )=\exp [\tau (D_T+D_V)]z(0).(4)$

Az SI kifejezés közelít az idő-haladó operátorhoz a (4)-es kifejezésben egy operátor szorzataként:

$\exp [\tau (D_T+D_V)]=\prod _{i=1}^k\exp (c_i\tau D_T)\exp (d_i\tau D_V)+O({\tau }^{k+1}),(5)$

ahol $c_i$ és $d_i$ valós számok, és $k$ egy egész szám, melyet az integrátor rendszámának hívnak.

$\exp (c_i\tau D_T)$ és $\exp (d_i\tau D_V)$ operátorok szimplektikus leképzést adnak, így a szorzatuk az (5)-ben, szintén egy szimplektikus leképzést ad. Konkrét kifejezésben, a $\exp (c_i\tau D_T)$ adja:

$\left(\begin{array}{c}q\\ p\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}{q}^{\prime }\\ p^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}q+\tau c_i\frac{\partial T}{\partial p}(p)\\ p\end{array}\right)$

és $\exp (d_i\tau D_V)$ adja

$\left(\begin{array}{c}q\\ p\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}{q}^{\prime }\\ p^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}q\\ p-\tau d_i\frac{\partial V}{\partial q}(q)\end{array}\right).$

Mindkét leképzés számítástechnikailag programozható.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Numerikus integrálás
• Euler-módszer
• Differenciálegyenlet