Szűrő (matematika)

A halmazelméletben szűrőnek (vagy idegen szóval filternek) nevezzük egy halmaz részhalmazainak olyan családját, amely nemüres, felszálló és a véges metszet képzésére zárt. A szűrőket széles körben alkalmazza a topológia, és kézenfekvő általánosításuk van a hálóelméletben.

Definíció

Legyen $H$ egy nemüres halmaz, jelölje $P(H)$ a $H$ halmaz összes részhalmazának halmazát, és legyen $F\subset P(H)$. $F$ tehát $H$ részhalmazainak egy családja. $F$ szűrő a $H$ halmazon, ha eleget tesz az alábbi feltételeknek.

1. $F$ nemüres: $F\ne \mathrm{\varnothing }$
2. $F$ felszálló, azaz $A\in F$ és $A\subset B\subset H$ esetén $B\in F$.
3. $F$ zárt a véges metszet képzésére, azaz $A,B\in F$ esetén $A\cap B\in F$

Példák szűrőkre

Triviális példa szűrőre a fenti $P(H)$ hatványhalmaz.

Szűrőt alkot a számegyenes összes olyan részhalmaza, amely tartalmazza a [0,1] intervallumot.

Tekintsük a természetes számok olyan részhalmazait, amik az alaphalmazból véges számú elem elhagyásával keletkeznek. Ezek a halmazok szintén szűrőt alkotnak.