Szürreális számok

A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, amely tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál. Ebben hasonlítanak a hiperreális számokra, de konstrukciójukban különböznek, viszont tartalmazzák a hiperreális számokat is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.

A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Conway eredetileg csak számoknak nevezte őket. Ez a könyv nem szakkönyv, hanem párbeszédes regény. A szürreális elnevezés francia eredetű, jelentése: valóságon túli. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.

Motiváció

A szürreális számok több szempontból is érdekesek. Két egyszerű művelettel keletkeznek a semmiből, azonban tulajdonságaikban hasonlítanak a valós számokra. Segítenek bebizonyítani a valós számok alapvető tulajdonságait is, például $x \leq x$ , vagy ha $x = y$ , akkor $x + z = y + z$ . Lehetőséget adnak az absztrakt algebra módszereinek gyakorlására is. Conway a játékok elemzésére is felhasználta a számkört.

Mindezek mellett a szürreális számok a nem standard analízis számára is modellt alkotnak, amiben infinitezimális számok léteznek. Mielőtt azonban definiálnánk őket, tisztában kell lennünk azzal, hogy a konstrukciót halmazelméleti eszközökkel végezzük, tehát nem számtani műveletekkel.

Konstrukció

A szürreális számok konstrukciója a Dedekind-szeletekére hasonlít. A szám megadásához két halmazt kell definiálni, amelyek közül az egyik a kisebb, a másik a nagyobb számokat tartalmazza; ezeket a továbbiakban rendre L és R jelöli. A számot ez a két halmaz határozza meg, jelölése L | R. A két halmaznak csak azt a kikötést kell teljesítenie, hogy L összes elemének kisebbnek kell lennie R minden eleménél. Például a ${{1, 2} | {5, 8}}$ konstrukció érvényes 2 és 5 közötti számot ad; hogy melyiket, azt majd később meglátjuk. Ezek a halmazok üresek is lehetnek. Az ${L | \emptyset}$ értelmezése: egy szám, ami L minden eleménél nagyobb, és hasonlóan, ${\emptyset | R}$ jelentése: egy szám, ami R minden eleménél kisebb. A konstrukció rekurzívvá tevéséhez először a rendezést kell kiterjeszteni.

Konstrukciós és összehasonlítási szabály

Konstrukciós szabály: Legyenek L és R szürreális számokból alkotott halmazok. Ha az L és az R halmazokra teljesül, hogy R egy eleme sem kisebb vagy egyenlő, mint L elemei, akkor a halmazpár szürreális számot definiál.

Rendezési szabály: Az $x = {L_{x} | R_{x}}$ és az $y = {L_{y} | R_{y}}$ szürreális számokra akkor teljesül $x \leq y$ , ha $y$ kisebb egyenlő, mint bármely eleme $L_{x}$ -nek, és $R_{y}$ egy eleme sem kisebb egyenlő, mint $x$ .

A jelölés egyszerűsítésére elhagyjuk a halmazok zárójeleit, és az üres halmazokat. Így például ${a, b | x}$ ugyanaz, mint ${{a, b} | {x}}$ , illetve ${| a}$ megegyezik az ${\emptyset | {a}}$ szürreális számmal. A kisebb-egyenlő szabályt teljesítő ${L | R}$ objektumot jólformáltnak is nevezik, hogy megkülönböztessék a nem jólformált objektumokról, amikről később a játékok kapcsán lesz szó.

Relációk

A szürreális számok megfelelő relációkkal teljesen rendezhetők. Azonban a fent bevezetett $\leq$ reláció még nem antiszimmetrikus, csak a reflexív és a tranzitív tulajdonságokat teljesíti. Ez azt jelenti, hogy abból, hogy $x \leq y$ és hogy $y \leq x$ , nem következik, hogy $x = y$ . Ezen lehet segíteni az == reláció bevezetésével:

Legyen $x = = y$ , ha $x \leq y$ és $y \leq x .$

Ez egy ekvivalenciareláció, aminek osztályai teljesen rendezettek. Ha x és y ugyanahhoz az ekvivalenciaosztályhoz tartozik, akkor ugyanazt a szürreális számot jelölik. Az x ekvivalenciaosztályát [x] jelöli, ahol x az ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Ez az eljárás hasonló a törtek hányadosként való bevezetéséhez, vagy a valós számok Cauchy-sorozatokkal való definiálásához.

Példák

Az első példa a két üres halmazzal definiált szürreális szám, mégpedig: ${|} = {\emptyset | \emptyset}$ . Ez megfelel a konstrukciós szabálynak, mivel az üres halmazok nem tartalmaznak elemeket, amelyek megsértik a konstrukciós szabályt. Ezt a számot $𝟎$ jelöli, és $[𝟎]$ ekvivalenciaosztályát egyszerűen úgy írjuk, hogy 0. Az összehasonlítás szabálya szerint

𝟎 \leq 𝟎

.

A konstrukciós szabály alapján kapjuk a következő számokat:

{𝟎 |}, {| 𝟎}

és

{𝟎 | 𝟎}

Az utolsó szám nem jólformált a $𝟎 \leq 𝟎$ szabály miatt. Tehát az eddigi számok így rendezhetők:

{| 𝟎} < 𝟎 < {𝟎 |}

Itt $x < y$ azt jelenti, hogy nem teljesül $y \leq x$ . Ezeket az új számokat így jelöljük: ${| 𝟎} = : - 𝟏$ és ${𝟎 |} = : 𝟏$ és ekvivalenciaosztályaikat $- 1$ és $1$ . Mivel az ekvivalenciaosztályok eddig csak egy elemet tartalmaznak, a rendezés írható, mint

- 1 < 0 < 1

.

Még egyszer alkalmazva a konstrukciót az eddigi számokra a nem jólformáltak mellett a következő jólformáltakat kapjuk:

{| - 𝟏} = = {| - 𝟏, 𝟎} = = {| - 𝟏, 𝟏} = = {| - 𝟏, 𝟎, 𝟏} <

{| 𝟎, 𝟏} = = - 𝟏 <

{- 𝟏 | 𝟎} = = {- 𝟏 | 𝟎, 𝟏} <

{- 𝟏 |} = = {| 𝟏} = = {- 𝟏 | 𝟏} = = 𝟎 <

{𝟎 | 𝟏} = = {- 𝟏, 𝟎 | 𝟏} <

{- 𝟏, 𝟎 |} = = 𝟏 <

{𝟏 |} = = {𝟎, 𝟏 |} = = {- 𝟏, 𝟏 |} = = {- 𝟏, 𝟎, 𝟏 |}

A következő megfigyeléseket tehetjük:

Négy új ekvivalenciaosztályunk van, $[{| - 𝟏}]$ , $[{- 𝟏 | 𝟎}]$ , $[{𝟎 | 𝟏}]$ és $[{𝟏 |}]$
Mindegyik osztály egynél több elemet tartalmaz
A szürreális szám értéke csak a legnagyobb bal és a legkisebb jobb elemtől függ.

Az első megfigyelés azt a kérdést veti fel, hogy hogyan értelmezzük az új osztályokat. Mivel ${| - 𝟏}$ kisebb, mint a $- 1$ , azért ez tekinthető a $- 𝟐$ számnak; ennek ekvivalenciaosztálya $- 2$ . Hasonlóan, az ${𝟏 |}$ számot $𝟐$ -nek nevezzük; ${- 𝟏 | 𝟎}$ a $- 1$ és a $0$ között van, ezért azonosítjuk a $- 𝟏 / 𝟐$ számmal, és hasonlóan ${𝟎 | 𝟏}$ lesz az $𝟏 / 𝟐$ . Tehát az új ekvivalenciaosztályokat $- 2$ , $2$ , $- 1 / 2$ és $1 / 2$ jelöli. A szorzás és az összeadás bevezetése után ezt majd még jobban fogjuk látni.

A második megfigyelés ahhoz a kérdéshez vezet, hogy továbbra is azonosíthatjuk-e a szürreális számokat ekvivalenciaosztályukkal. A válasz igenlő, mivel:

Ha

[L_{x}] = [L_{y}]

és

[R_{x}] = [R_{y}]

, akkor

[{L_{x} | R_{x}}] = [{L_{y} | R_{y}}]

.

Itt $[X] = {[x] : x \in X}$ az $X$ elemeinek ekvivalenciaosztályaiból alkotott halmaz. Így a fentieket írhatjuk úgy is, mint:

{| - 1} = {| - 1, 0} = {| - 1, 1} = {| - 1, 0, 1} = : - 2 <

{| 0, 1} = - 1 <

{- 1 | 0} = {- 1 | 0, 1} = : - 1 / 2 <

{- 1 |} = {| 1} = {- 1 | 1} = 0 <

{0 | 1} = {- 1, 0 | 1} = : 1 / 2 <

{- 1, 0 |} = 1 <

{1 |} = {0, 1 |} = {- 1, 1 |} = {- 1, 0, 1 |} = : 2

vagy rövidebben:

- 2 < - 1 < - 1 / 2 < 0 < 1 / 2 < 1 < 2

.

A harmadik megfigyelés szerint tetszőleges szürreális szám általánosítható véges jobb és bal halmazával. Így az ${1, 2 | 5, 8}$ szürreális szám megegyezik a ${2 | 5}$ szürreális számmal. Az elemeket megadó halmazok végtelenek is lehetnek, ezért ebben az esetben nem biztos, hogy van legnagyobb vagy legkisebb elem.

Műveletek

A szürreális számokon végzett műveleteket így definiálják:

Összeadás: $x + y = {(L_{x} + y) \cup (x + L_{y}) | (R_{x} + y) \cup (x + R_{y})}$

Ellentett: $- x = {- R_{x} | - L_{x}}$

Szorzás: $x \cdot y = {(L_{x} \cdot y + x \cdot L_{y} - L_{x} \cdot L_{y}) \cup (R_{x} \cdot y + x \cdot R_{y} - R_{x} \cdot R_{y}) | (L_{x} \cdot y + x \cdot R_{y} - L_{x} \cdot R_{y}) \cup (R_{x} \cdot y + x \cdot L_{y} - R_{x} \cdot L_{y})}$ .

ahol a $+, -, \cdot$ az operátorok halmazelméleti kiterjesztései, például

X + y = {x + y : x \in X}

,

- X = {- x : x \in X}

és

X + Y = {x + y : x \in X, y \in Y}

Ezek a műveletek jóldefiniáltak abban az értelemben, hogy nem vezetnek ki a jóldefiniált szürreális számok halmazából. Megállapítható, hogy a fenti jelölések megfelelnek várakozásainknak, ugyanis

𝟎 + 𝟎 = 𝟎

,

𝟏 + 𝟏 = 𝟐

,

- (𝟏) = - 𝟏

és

𝟏 / 𝟐 + 𝟏 / 𝟐 = = 𝟏

.

(Ügyeljünk a különbségre: $=$ az egyenlőség, és $= =$ az ekvivalencia!)

A műveletek átvihetők az ekvivalenciaosztályokra, ugyanis

[x] = [x^{'}]

és

[y] = [y^{'}]

miatt

[x + y] = [x^{'} + y^{'}]

és

[- x] = [- x^{'}]

és

[x \cdot y] = [x^{'} \cdot y^{'}]

.

jóldefinált műveletek az ekvivalenciaosztályokkal. Végül belátható, hogy az ekvivalenciaosztályokon végezhető műveletek bírnak azokkal a tulajdonságokkal, amiket elvárunk az összeadástól, az ellentettképzéstől és a szorzástól.

Az ekvivalenciaosztályok a rendezéssel és a műveletekkel teljesítik a rendezett test tulajdonságait, de mivel nem alkotnak halmazt, ezért ez nem rendezett test.

A következőkben nem különböztetjük meg egymástól az ekvivalenciaosztályokat és a szürreális számokat.

Generálás teljes indukcióval

Eddig nem vizsgáltuk részletesen, hogy milyen számok kaphatók meg a konstrukciós szabállyal, és melyek nem. Azokkal a számokkal kezdünk, amelyek véges sok lépésben megkaphatók. Induktívan definiáljuk az $S_{n}$ halmazokat minden $n$ természetes számra:

$S_{0} = {0}$
$S_{i + 1}$ az $S_{i}$ halmazhoz hozzávesszük azokat a szürreális számokat, amelyek egy lépésben konstruálhatók $S_{i}$ részhalmazaiból.

Az összes, valamelyik $S_{i}$ halmazban megtalálható szürreális szám halmazát $S_{ω}$ -nak nevezzük. Az első néhány halmaz a következő:

S_{0} = {0}

S_{1} = {- 1 < 0 < 1}

S_{2} = {- 2 < - 1 < - 1 / 2 < 0 < 1 / 2 < 1 < 2}

S_{3} = {- 3 < - 2 < - 1 1 / 2 < - 1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 < 0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 < 1 < 1 1 / 2 < 2 < 3}

Ez alapján észrevehetjük a következőket:

Egész számok: a maximum mindig eggyel nő, a minimum eggyel csökken.
Törtek: minden eddigi szomszédos szám között megjelenik egy új szám.

Eszerint minden diadikus törtet megkapunk, vagyis azokat a törteket, amelyek $a / 2^{b}$ alakúak, ahol a és b egészek. Más törtek azonban nincsenek $S_{ω}$ -ban.

A végtelenig, és azon is túl

Miután már megkaptuk az $S_{ω}$ halmazt, tovább folytathatjuk a generálást. Így kapjuk az $S_{ω + 1}$ , $S_{ω + 2}$ halmazokat, amelyek most mindkét oldalon végtelen számú elemet tartalmaznak. Transzfinit indukcióval minden a rendszámhoz definiálhatunk S_a halmazt.

A szürreális szám születésnapjának nevezzük azt az a rendszámot, amire S_a tartalmazza a szürreális számot, de egyetlen kisebb rendszámú halmazban sincs benne a szürreális szám. Például a 0 születésnapja 0, az 1/2 születésnapja 2.

Megmutatható, hogy ${{a} | {b}}$ a legöregebb szürreális számot határozza meg a és b között. A fent megadott ${{1, 2} | {5, 8}}$ szám egyenlő a ${2 | 5}$ számmal, és a legöregebb szám $2$ és $5$ között a 3.

Már az $S_{ω + 1}$ -ben találhatunk törteket, amelyek nem voltak jelen $S_{ω}$ -ban. Például

𝟏 / 𝟑 = {{a / 2^{b} \in S_{ω} | 3 a < 2^{b}} | {a / 2^{b} \in S_{ω} | 3 a > 2^{b}}}

.

A definíció korrektségét mutatja, hogy: $𝟑 \cdot (𝟏 / 𝟑) = = 𝟏$ .

Az $S_{ω + 1}$ tartalmazza az összes valós számot. Ezt az intervallumok skatulyázása mutatja meg, amivel minden egyes valós szám egyértelműen előáll. Az $S_{ω}$ már tartalmazza a $k / 2^{j}$ alakú számokat. Ezekkel a számokkal mint határpontokkal már minden valós szám skatulyázható. A kisebb végpontokat felvesszük a bal, a nagyobb végpontokat a jobb halmazba, és ezzel már meg is adtuk a valós számot.

De $S_{ω + 1}$ más számokat is tartalmaz, például a következő infinitezinális számot:

ε = {0 | . . ., 1 / 16, 1 / 8, 1 / 4, 1 / 2, 1}

.

Könnyű látni, hogy ez a szám pozitív, de minden pozitív törtnél kisebb. A szürreális számok között nem ez az egyedüli infinitezimális szám, hiszen:

2 ε = {ε | \dots, ε + 1 / 16, ε + 1 / 8, ε + 1 / 4, ε + 1 / 2, ε + 1}

,

ε / 2 = {0 | ε}

.

amelyeket az $S_{ω + 2}$ tartalmaz.

Emellett végtelen nagy számok is találhatók már $S_{ω + 1}$ -ben, mint például

𝐰 = {S_{ω} |}

.

Ez a szám nagyobb, mint $S_{ω}$ minden eleme, többek között mint minden egész szám. Megfelel az $ω$ -nak, ami $S_{ω}$ címkéje. Ekvivalensen,

𝐰 = = {1, 2, 3, 4, \dots |}

.

Minden rendszám megjelenik a szürreális számok között.

Mivel az összeadás és a szorzás minden szürreális számra definiálva van, az $ω$ szürreális számmal ugyanúgy számolhatunk, mint a többivel:

ω + 1 = {ω |}

és

ω - 1 = {S_{ω} | ω}

.

Ez nagyobb tagokra is teljesül:

ω + 2 = {ω + 1 |}

,

ω + 3 = {ω + 2 |}

,

ω - 2 = {S_{ω} | ω - 1}

,

ω - 3 = {S_{ω} | ω - 2}

és még magával az $ω$ szürreális számmal:

ω + ω = {ω + S_{ω} |}

ahol $x + Y = {x + y | y \in Y}$ mint fent.

Ahogy $2 \cdot ω = ω + ω$ nagyobb, mint $ω$ , az $ω / 2$ kisebb, mint $ω$ , mivel

ω / 2 = {S_{ω} | ω - S_{ω}}

ahol $x - Y = {x - y | y \in Y}$ .

Végül megtaláljuk az összefüggést $ω$ és $ε$ között, hiszen

ε \cdot ω = 1

.

Ügyelni kell arra, hogy ebben a számkörben másként viselkednek a rendszámok, mint egyébként: rendszámként $1 + ω = ω < ω + 1$ , míg szürreális számként $1 + ω = ω + 1 > ω$ .

A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem.

Mivel minden szürreális szám megalkotható nála öregebb szürreális számokból, használható a transzfinit rekurzió elve. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha egy tulajdonság teljesül $X_{L}$ és $X_{R}$ elemeire, akkor az $x = {X_{L} | X_{R}}$ szürreális számra is teljesül.

Alternatív definíciók

Előjelfüggvények

Egy alternatív értelmezésben a szürreális számok a rendszámokból a { −1, +1 } halmazba képező függvények. Két ilyen függvény közül x egyszerűbb, mint y, ha x leszűkítése y-nak, vagyis minden olyan helyen, ahol x értelmezve van, ott y is értelmezve van, és értékeik megegyeznek.

A szürreális számok értelmezéséhez az értelmezési tartományon kívüli elemeket -1-nél nagyobbnak és 1-nél kisebbnek tekintjük. Így x < y, ha ezek közül valamelyik teljesül:

x egyszerűbb, mint y, és y(dom(x)) = + 1;
y egyszerűbb, mint x, és 'x(dom(y)) = − 1;
van egy z, hogy z egyszerűbb, mint x és y, és x(dom(z)) = − 1 és y(dom(z)) = + 1.

Ekvivalensen, legyen δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), úgy, hogyx = y akkor és csak akkor, ha δ(x,y) = dom(x) = dom(y). Ekkor az x és y számokra x < y akkor és csak aklkor teljesül, ha:

δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = + 1;
δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1;
δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1 ∧ y(δ(x,y)) = + 1.

Az x és y számokra x ≤ y akkor és csak akkor, ha x < y ∨ x = y, és x > y akkor és csak akkor, ha y < x. Tehát x ≥ y akkor és csak akkor, ha y ≤ x.

Az így bevezetett < reláció tranzitív, és trikhotómia is teljesül, azaz akárhogy választjuk az x, y számokat, x < y, x = y, vagy x > y valamelyike fennáll. Ez azt jelenti, hogy < teljes rendezés (egy valódi osztályon).

Az L és R halmazokra, ha ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), akkor egyértelműen van egy z szám, hogy

∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y),
Minden w számra, amire ∀x ∈ L (x < w) ∧ ∀y ∈ R (w < y), w = z vagy z egyszerűbb, mint w.

Továbbá z konstruálható az L és R halmazokból transzfinit indukcióval: z a legegyszerűbb szám L és R között. Jelölje ezt az egyértelmű z számot σ(L,R).

Egy x számra definiáljuk az L(x) bal és az R(x) jobb halmazt a következőképpen:

L(x) = { x|_α : α < dom(x) ∧ x(α) = + 1 };
R(x) = { x|_α : α < dom(x) ∧ x(α) = − 1 },

akkor σ(L(x),R(x)) = x.

A konstrukció előnye az, hogy az egyenlőséget eleve ekvivalenciarelációként vezeti be. Hátránya az, hogy Conway konstrukciójával szemben a rendszámokat már meglevőnek és rendezettnek tételezi fel, míg Conway konstrukciójában a szürreális számokkal együtt vannak megkonstruálva.

Vannak hasonló konstrukciók, amelyek elkerülik a szürreális számok rendezését. A függvényeket az eddig definiált szürreális számokon értelmezzük, értékkészletük { −, + }; továbbá feltesszük, hogy ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f )). Ezzel az egyszerűbb, mint definíciója is egyszerű: x egyszerűbb, mint y, ha x ∈ dom y. A teljes rendezés az összes elemet rendezett párnak tekinti: vagy x = y, vagy a z = x ∩ y szürreális szám x vagy y (vagy mindkettő) értelmezési tartományában van. Ekkor teljesül x < y, ha x(z) = − vagy y(z) = + . Az előjelsorozatokká való konvertáláshoz fel kell sorolni az értelmezési tartomány elemeit egyszerűség szerint, és hozzájuk leírni az előjeleket. Ezek közül azok lesznek a rendszámok, melyek értékkészlete { + }.

Összeadás és szorzás

Az x és y számok összegét dom(x) és dom(y) halmazok indukciója alapján definiálhatjuk:

x + y = σ(L,R), ahol

L = { u + y : u ∈ L(x) } ∪{ x + v : v ∈ L(y) },
R = { u + y : u ∈ R(x) } ∪{ x + v : v ∈ R(y) }.

A nullelem a 0 = { }, vagyis a nulla az üres függvény. Ha x szám, akkor ellentettje −x, ahol dom(− x) = dom(x), és az értékek ellentettjükre változnak, azaz α < dom(x), (− x)(α) = − 1 ha x(α) = + 1, és (− x)(α) = + 1 ha x(α) = − 1.

Következik, hogy ha x szürreális szám, akkor x pozitív, ha 0 < dom(x), és x(0) = + 1, és x negatív, ha 0 < dom(x) és x(0) = − 1.

Ha x és y szürreális számok, akkor szorzatukat xy jelöli. Ezt induktívan definiáljuk a következőképpen:

dom(x) és dom(y) alapján xy = σ(L,R), ahol

L = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y) },
R = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y) }.

Az egységelem az 1 = { (0,+ 1) } szürreális szám, 1(0) = + 1.

Megfeleltetés Conway konstrukciójával

Conway reprezentációjáról az előjelekre ezzel térhetünk át: f({ L | R }) = σ(M,S), ahol M = { f(x) : x ∈ L } és S = { f(x) : x ∈ R }.

Conway reprezentációjára úgy térhetünk át, hogy g(x) = { L | R }, ahol L = { g(y) : y ∈ L(x) } és R = { g(y) : y ∈ R(x) }.

Axiomatikus megközelítés

Alling a közvetlen konstrukció helyett axiómákkal építette fel a szürreális számokat. Axiómarendszere izomorfizmus erejéig egyértelműen jellemzi a szürreális számokat.^[1]

Egy $⟨ 𝐍 𝐨, <, b ⟩$ hármas szürreális számrendszer, ha teljesíti a következőket:

< teljes rendezése No-nak.
értelmezve van egy b születésnapfüggvény No-ról a rendszámokba.
Legyenek A és B részosztályai No-nak, hogy minden x ∈ A és y ∈ B elemre x < y, vagyis 〈 A,B 〉No Conway-szelete. Ekkor van egy z ∈ No, hogy b(z) minimális, és minden x ∈ A és y ∈ B-re x < z < y. (Conway egyszerűségi tétele).
Továbbá, ha α nagyobb, mint b(x) minden x ∈ A, B elemre, akkor b(z) ≤ α. Alling megfogalmazásában ez teszi teljessé a szürreális számrendszert.

Conway konstrukciója és az előjelfüggvényes konstrukció megfelel ezeknek az axiómáknak.

Ezekkel az axiómákkal Alling levezette Conway definícióját a ≤ relációra és megalkotta az aritmetikát is.

Hahn-sorok

Alling azt is belátta,^[2] hogy a szürreális számok struktúrája izomorf a valós együtthatós Hahn-sorozatokkal, amiknek értékei éppen a szürreális számok. Ez kapcsolatot teremt a szürreális számok és a rendezett testek elméletének konvencionálisabb matematikai megközelítése között.

Ez az izomorfizmus a szürreális számokat megfelelteti egy értékkel ellátott testnek, ahol a kiértékelés additív inverze a Conway-normálforma főegyütthatójának kitevőjének, például ν(ω) = -1. Ez a kiértékelésgyűrű a véges szürreális számokból áll. Az előjel megváltoztatása arra vezethető vissza, hogy a Conway-normálforma egy jólrendezett halmaz megfordítása, míg a Hahn-sorokat az értékcsoport jólrendezett részhalmazaival definiálják.

Halmazelméleti fontosság

A szürreális számok valódi osztályt alkotnak a Zermelo-Fraenkel halmazelméleti axiómarendszerben. Ez belátható azzal, hogy már maguk a rendszámok is valódi osztályt alkotnak. Mivel a definíció halmazokat említ, ezért a valódi osztályok nem kerülhetnek az egyik oldalra sem. Nem lehet az egyik sem egyenlő az összes szürreális számmal, vagy csak az összes rendszámmal, így elkerülhetők bizonyos paradoxonok.

Kapcsolat a hiperreális számokkal

Philip Ehrlich izomorfizmust konstruált a Conway konstrukciójával felépített szürreális számok és a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet maximális hiperreálisai között.^[3]

Komplexen túli számok

A komplexen túli számok a komplex számokhoz hasonlóan képezhetők a szürreális számokból, vagyis $a + b i$ alakúak, ahol a és b szürreális szám.^[4]^[5] A komplexen túli számok algebrailag zárt testszerű struktúrát alkotnak, ami izomorf a racionális számok független transzcendens elemekből alkotott valódi osztályával vett kiterjesztésével generált test algebrai lezártjával. Izomorfia erejéig ez jellemzi a komplexen túli számokat.^[6]

Általánosítás

A konstrukció a halmaz szó mellett még azt a kikötést is tartalmazza, hogy a bal halmaz elemei kisebbek a jobb halmaz elemeinél. Ha ezt a korlátozást elhagyjuk, akkor a játék fogalmához jutunk. Tehát a játékok konstrukciós szabálya:

Ha

L

és

R

játékok halmaza, akkor

{L | R}

játék.

Az összehasonlítás és a műveletek definíciója ugyanaz, mint a szürreális számoknál.

Minden szürreális szám játék, de fordítva ez már nem igaz; vannak nem jól formált játékok is, például a ${𝟎 | 𝟎}$ . A játékok osztálya általánosabb, és nem is teljesül rájuk az összes tulajdonság, mint ami a szürreális számokra. Nem alkotnak rendezett testhez hasonló struktúrát, mivel a rendezés csak részben rendezés. A szürreális számok lehetnek pozitívok, negatívok, és nullával egyenlők; egy játék lehet, hogy nem hasonlítható össze a nullával, ekkor fuzzynak nevezzük. Sőt, már maga a testszerűség is sérül, hiszen ha $x$ , $y$ , $z$ játékok, és $x = = y$ , akkor nem biztos, hogy $x \cdot z = = y \cdot z$ .

Kapcsolat a játékelmélettel

Eredetileg a go motiválta a szürreális számokat, és számos kapcsolat áll fenn ismert játékok és a szürreális számok között. A játékról a következőket tesszük fel:

Determinisztikus, nincs kockadobás vagy kártyapakli.
Ketten játszanak, Bal és Jobb.
Nincsenek rejtett információk, mint a lefordított kártyalapok.
A játékosok felváltva lépnek.
Minden játék véges sok lépés után véget ér valamelyik játékos győzelmével.
Ha egy játékos nem tud lépni, akkor veszít, és a játék véget ér. A sakkban lehet, hogy ilyenkor döntetlen az eredmény.

Ilyen játék a sakk, a dáma, a go és a malom, de nem ilyen a legtöbb kártyajáték.

A legtöbb játékban kezdetben a két játékos helyzete szimmetrikus. Nem ilyen például a hnefatafl. A játék folyamán az egyes lépések nyomán kialakulnak olyan helyzetek, amelyikben az egyik fél előnyben van, például gyalogelőny, vagy helyzeti előny a sakkban. A parti elemzéséhez minden álláshoz hozzárendelnek egy játékot. Egy helyzet értéke egy ${L | R}$ játék, ahol L tartalmazza azokat a helyzeteket, amiket Bal lépése hozhat létre, és R azokat a helyzeteket, amelyek Jobb lépése nyomán jöhetnek létre. Ez a módszer érdekes eredményeket ad. Tegyük fel, hogy két, tökéletesen játszó játékos egy olyan helyzetben találja magát, amit egy x játék ír le. Ekkor a következőképpen meg lehet jósolni a győztest:

Ha $x > 0$ , akkor Bal nyer.
Ha $x < 0$ , akkor Jobb nyer.
Ha $x = 0$ , akkor a lépésen levő játékos veszít.
Ha x fuzzy, akkor a lépésen levő játékos nyer.

Egyes játékokban a végjátékban a játék több különálló részre esik szét. Ilyen például a go, amiben a semleges terület több kisebb részre szakad, amelyek mindegyike önálló kis gopartiként viselkedik. Hasznos lenne ezeket külön elemezni, és az eredményeket kombinálni, Ez azonban nem könnyű feladat. Lehet, hogy külön-külön ugyanaz a játékos nyerne, de együtt már a másik játékos nyer. Azonban ennek is megvan a módja:

Tétel: Ha egy parti két kisebb, független partira osztható, amiket az x és y játékok adnak meg, akkor az összjáték az x + y játékkal jellemezhető.

Szavakkal: A parti megkapható független részjátékainak összegeként.

Történetük

Conway a szürreális számokat csak a játékok után fedezte fel. A játékokra lazább szabályok vonatkoznak; a nem jólformált szürreális számok is játékok. A go végjátékait elemezte, és olyan módszert próbált kidolgozni, amivel kombinálhatók az egyes részjátékok. Így fejlesztette ki a kombinatorikus játékelméletet, amiben a játékokra definiálható az összeadás, az ellentettképzés és az összehasonlítás. Csak később vette észre, hogy a játékok egy bizonyos osztálya érdekes tulajdonságokkal bír, és ellátta őket szorzással, amivel teljesülnek a kívánt tulajdonságok, és amivel megmutatható, hogy a valós számok is közöttük vannak.

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

http://www.tondering.dk/download/sur16.pdf Claus Tøndering: Bevezetés a szürreális számok körébe.

Fordítás

↑ Sablon:Cite book
↑ Alling, op. cit., theorem of §6.55 (p. 246)
↑ Sablon:Cite journal
↑ Surreal vectors and the game of Cutblock, James Propp, August 22, 1994.
↑ N. L. Alling, Foundations of analysis over surreal number fields, N. L. Alling, Amsterdam: North-Holland, 1987. Sablon:ISBN.
↑ Theorem 27, On Numbers and Games, John H. Conway, 2nd ed., Natick, Massachusetts: A K Peters, Ltd., 2000. Sablon:ISBN.

[Alling-1] Sablon:Cite book

[2] Alling, op. cit., theorem of §6.55 (p. 246)

[3] Sablon:Cite journal

[4] Surreal vectors and the game of Cutblock, James Propp, August 22, 1994.

[5] N. L. Alling, Foundations of analysis over surreal number fields, N. L. Alling, Amsterdam: North-Holland, 1987. Sablon:ISBN.

[6] Theorem 27, On Numbers and Games, John H. Conway, 2nd ed., Natick, Massachusetts: A K Peters, Ltd., 2000. Sablon:ISBN.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Szürreális számok

Tartalomjegyzék

Motiváció

Konstrukció

Konstrukciós és összehasonlítási szabály

Relációk

Példák

Műveletek

Generálás teljes indukcióval

A végtelenig, és azon is túl

Alternatív definíciók

Előjelfüggvények

Összeadás és szorzás

Megfeleltetés Conway konstrukciójával

Axiomatikus megközelítés

Hahn-sorok

Halmazelméleti fontosság

Kapcsolat a hiperreális számokkal

Komplexen túli számok

Általánosítás

Kapcsolat a játékelmélettel

Történetük

Jegyzetek

Források

Fordítás

Navigációs menü

Szürreális számok

Motiváció

Konstrukció

Konstrukciós és összehasonlítási szabály

Relációk

Példák

Műveletek

Generálás teljes indukcióval

A végtelenig, és azon is túl

Alternatív definíciók

Előjelfüggvények

Összeadás és szorzás

Megfeleltetés Conway konstrukciójával

Axiomatikus megközelítés

Hahn-sorok

Halmazelméleti fontosság

Kapcsolat a hiperreális számokkal

Komplexen túli számok

Általánosítás

Kapcsolat a játékelmélettel

Történetük

Jegyzetek

Források

Fordítás

Navigációs menü

Keresés