Steiner feladványa

Steiner feladványa, amit Jacob Steiner vetett fel és oldott meg 1850-ben, annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy az

$f(x)=x^{1/x}$

valós függvénynek hol van maximuma.

A maximum $x=e$-nél van, ahol e a természetes logaritmus alapját jelöli. Ezt a következőképpen lehet belátni. Mivel a természetes logaritmus szigorú monoton növekvő, $f$-nek ugyanott van a maximuma, mint $g$-nek, ahol

$g(x)=\ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$

A $g$ függvény deriváltja

$g^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

Azt látjuk, hogy $g^{\prime }(x)$ pozitív, amikor $0<x<e$, és negatív, amikor $x>e$. Ebből következik, hogy $g(x)$ (és így $f(x)$) növekszik, amikor $0<x<e$, és csökken, amikor $x>e$. Így $x=e$ az egyetlen, globális maximuma $f(x)$-nek.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite web