Skalárszorzat által indukált norma

Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.

Definíció

Ha $V$ vektortér a valós vagy komplex számok $𝕂$ teste felett, ellátva a $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skalárszorzattal, akkor $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy $v\in V$ vektor normája:

$\Vert v\Vert :=\sqrt{⟨v,v⟩}$,

vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.

Ezzel a normával $V$ normált tér; sőt, a norma által indukált $d$ metrikával $(V,d)$ metrikus tér, és a $𝒯$ normatopológiával $(V,𝒯)$ topologikus tér

Példák

Fontos példák a következők:

• Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma
• Az ℓ² négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ²-norma
• Az L² négyzetesen integrálható függvények terében az L²-norma
• A H^s Szoboljev-térben a Szoboljev-norma
• A Frobenius-norma a mátrixok terén
• A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma

Tulajdonságai

Háromszög-egyenlőtlenség

A $\Vert v\Vert :=\sqrt{⟨v,v⟩}$ skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget.

Normaaxiómák

A három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.

A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden $v\in V$ vektorra:

$\Vert v\Vert =0\iff \sqrt{⟨v,v⟩}=0\Rightarrow ⟨v,v⟩=0\iff v=0$,

az abszolút homogenitás $v\in V$ és $\alpha \in 𝕂$ esetén:

$\Vert \alpha v{\Vert }^2=⟨\alpha v,\alpha v⟩=\overline{\alpha }\alpha ⟨v,v⟩=|\alpha {|}^2\Vert v{\Vert }^2$

és a háromszög-egyenlőtlenség minden $v,w\in V$-re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:

$\begin{array}{cc}\Vert v+w{\Vert }^2& =⟨v+w,v+w⟩=⟨v,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,v⟩+⟨w,w⟩=\Vert v{\Vert }^2+⟨v,w⟩+\overline{⟨v,w⟩}+\Vert w{\Vert }^2\\ & =\Vert v{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨v,w⟩+\Vert w{\Vert }^2\le \Vert v{\Vert }^2+2\Vert v\Vert \Vert w\Vert +\Vert w{\Vert }^2={(\Vert v\Vert +\Vert w\Vert )}^2,\end{array}$

ahol $\mathrm{Re}$ a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni.

Paralelogrammaazonosság

Paralelogrammaazonosság

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot:

$\Vert v+w{\Vert }^2+\Vert v-w{\Vert }^2=2(\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2)$

minden $v,w\in V$ vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy $\Vert \cdot \Vert$ norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:

$⟨v,w⟩=\frac{1}{4}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v-w{\Vert }^2)$.

Unitér invariancia

Egy skalárszorzatból származó norma invariáns az unitér transzformációkra. Ha $U:V\to W$ unitér transzformációja a $V$ vektortérnek egy $W$ skalárszorzatos vektortérbe, a hozzá tartozó normával, akkor

$\Vert Uv\Vert =\Vert v\Vert$,

mivel

$\Vert Uv{\Vert }^2=⟨Uv,Uv⟩=⟨U^{\ast }Uv,v⟩=⟨v,v⟩=\Vert v{\Vert }^2$

közvetlen következménye, ahol $U^{\ast }$ az $U$-hoz adjungált operátor. Egy unitér transzformáció tehát nem változtatja a vektor normájának értékét. Véges dimenziós esetben ezek a nullvektor körüli forgatások.

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:

$|⟨v,w⟩|\le \Vert v\Vert \Vert w\Vert$,

ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a $v$, $w$ lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:

$\frac{⟨v,w⟩}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }\le 1$,

amiből két valós vektor közötti $\phi$ szög meghatározható:

$\cos (\phi )=\frac{⟨v,w⟩}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }$

Eszerint a szög mindig $[0,\pi ]$-be esik, vagyis $0^{\circ }$ és $180^{\circ }$ közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós.

Pitagorasz-tétel

Általában két vektor, $v,w\in V$ ortogonális, ha $⟨v,w⟩=0$. Ortogonális vektorok esetén a Pitagorasz-tétel:

$\Vert v+w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2$,

ami közvetlenül adódik a háromszög-egyenlőtlenség levezetésének első részéből. A Pitagorasz-tétel kibővíthető véges sok, páronként ortogonális $v_1,\dots ,v_n\in V$ vektorokra:

$\Vert v_1+\cdots +v_n{\Vert }^2=\Vert v_1{\Vert }^2+\cdots +\Vert v_n{\Vert }^2$.

Hilbert-terekben végtelen sorösszegre a Parseval-formula a megfelelője.

Általánosítás

Ha a skalárszorzat definitsége helyett csak pozitív szemidefinitséget írunk elő, akkor a skalárszorzat félnormát indukál. Minden $(\cdot ,\cdot ):V\times V\to 𝕂$ pozitív szemidefinit Hermit-féle szeszkvilineáris alak, valós esetben szimmetrikus bilineáris alak minden $v\in V$-re

$p(v)=\sqrt{(v,v)}$

félnorma. Ezzel a félnormával $(V,p)$ félnormált tér, ami azonban nem metrikus tér általában. Maradékosztály-képzéssel származtatható belőle norma, így normált tér, ami metrikus és topologikus tér is.

Például a véletlen valószínűségi változók terében a kovariancia bilineáris alak, és a véletlen valószínűségi változók terén skalárszorzatot ad azon a faktortéren, melyben azonosnak tekintik azokat a valószínűségi változókat, amelyek egymás konstansai. Ekkor a valószínűségi változók normája egyenlő a valószínűségi változó szórásával.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book