Schwarzschild-sugár

A Schwarzschild-sugár, más néven gravitációs sugár minden tömeggel rendelkező testre megállapítható távolságérték. Egy test Schwarzschild-sugara az ugyanannyi teljes energiájú, gömbszimmetrikus fekete lyuk eseményhorizontjának a sugara. Égitestek tömegének alternatív mértékegységeként is alkalmazható.

Nevét Karl Schwarzschild német fizikusról kapta, aki 1916-ban találta meg az Einstein-egyenletek első egzakt megoldását, a Schwarzschild megoldást. Az általa vizsgált téridő-geometriának van egy koordináta-szingularitása, amely egy gömbfelület, ennek a sugarát nem sokkal halála után róla nevezték el.

Kiszámítása:

$r_s=\frac{2Gm}{c^2}$

ahol

$r_s$ a Schwarzschild-sugár

$G$ a gravitációs állandó

$m$ a test tömege

$c$ a fénysebesség értéke vákuumban.

A 2G/c² közelítő értéke 1,48 × 10⁻²⁷ m/kg. Ha ezt $S$-sel jelöljük, akkor $r_s$ = $m$·$S$ méter.

Példák a Naprendszerből

Égitest	$Gm\left[\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}\right]$	$r_s\left[\mathrm{m}\right]$
Nap	$1,32712440018\cdot 10^{20}$	$2,9532500765\cdot 10^3$
Merkúr	$2,2032\cdot 10^{13}$	$4,9028\cdot 10^{-4}$
Vénusz	$3,24859\cdot 10^{14}$	$7,2291\cdot 10^{-3}$
Föld	$3,986004418\cdot 10^{14}$	$8,870056078\cdot 10^{-3}$
Hold	$4,902800582\cdot 10^{13}$	$1,091020268\cdot 10^{-4}$
Mars	$4,2828\cdot 10^{13}$	$9,5305\cdot 10^{-4}$
Jupiter	$1,26686534\cdot 10^{17}$	$2,81915558$
Szaturnusz	$3,7931187\cdot 10^{16}$	$0,84408275$
Uránusz	$5,793947\cdot 10^{15}$	$0,1289327$
Neptunusz	$6,836529\cdot 10^{15}$	$0,1521333$

A definíció értelmében ha egy égitest sugara kisebb, mint az ő tömegéhez tartozó Schwarzschild-sugár, akkor az égitest felszíne a saját eseményhorizont-gömbjén belülre került, vagyis a felszínről való eltávolodáshoz már a fénysebesség is kevés, azaz az égitest egy fekete lyuk.

A táblázat szerint ehhez a Nap teljes tömegét kb. 3 kilométer sugarú gömbbé kellene összepréselni. Hogy a saját gravitációja ehhez közel sem elég, azt mutatja az, hogy a Nap gömbjének sugara jelenleg 700 ezer kilométer.

Ahhoz, hogy a Földet fekete lyukká változtassuk, kb. 9 mm sugarú, vagy annál kisebb golyóvá kellene a teljes tömegét összenyomni, a Jupiter esetében – melynek a tömege bolygónk 318-szorosa – ez a kritikus sugár kb. 2,8 m. Ezeknek a helyzeteknek a létrehozása persze jelen ismereteink szerint kivitelezhetetlen.

A számítás természetesen visszafelé is elvégezhető. Az itt látható fantáziarajzon a fekete gömb az annak közepén levő, ismeretlen méretű égitest által létrehozott eseményhorizont gömbje. Ha lehetőségünk volna a gömb sugarát megmérni, akkor megmondhatnánk az ehhez a Schwarzschild-sugárhoz tartozó tömeg, az ezt a fekete lyukat létrehozó égitest tömegének értékét. (Megjegyzendő, hogy ennek az értéknek a megállapítására más, nagy távolságból is alkalmazható lehetőségek is vannak.)

Irodalomjegyzék

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002) Sablon:ISBN, hibajegyzék
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (Akadémiai, 2006) Sablon:ISBN
• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie (Elsevier GmbH, München, 2006) Sablon:ISBN, Sablon:ISBN Sablon:De
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit (Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden, 2008) Sablon:ISBN Sablon:De