Rupert-féle kocka

Egységkocka a Rupert-féle kocka számára vágott lyukkal

A geometriában a Rupert-féle kocka a legnagyobb kocka, amely átfér egy egységkockán vágott lyukon. A Rupert-féle kocka élhossza mintegy 6%-kal haladja meg az egységkockáét. Egy rokon probléma az, hogy keressük meg a legnagyobb négyzetet, ami egy kockában elfér. Ebben a négyzet oldalhossza megegyezik a Rupert-féle kocka élhosszával. A kockát Rupert pfalzi hercegről nevezték el, aki a 17. században először foglalkozott a problémával.

Megoldás

Ha az egységkocka két szomszéd élén kiválasztjuk azt a két pontot, amelyek a két él közös csúcsától számítva 3/4 távolságra helyezkednek el, akkor a pontok közötti távolság

$\frac{3\sqrt{2}}{4}\approx 1,0606601.$

A szemközti pontokkal együtt alkotott négyzet teljesen a kockában van. Ezt a négyzetet a síkjára merőlegesen mindkét irányban meghosszabbítva egy olyan lyukat alkot, amin átfér egy egységnyinél nagyobb élhosszú kocka.

Az egységkocka maradék részei két háromszögű prizma és két nem szabályos tetraéder, amelyeket a négyzet csúcspontjai kapcsolnak össze. Egy-egy prizma hat csúcsából kettő a kocka csúcsa, a többi pont ezektől a csúcsoktól 1/4 távolságra van. A tetraéderek egyik csúcsa a kocka csúcsa, a többi közül kettő 3/4, egy 3/16 távolságra van az adott csúcsból kiinduló élen.

Története

Rupert-féle kocka 3D modellje

A Rupert-féle kockát Rupert pfalzi herceg után nevezték el, aki egy John Wallis angol matematikustól származó 1693-as történet szerint fogadott arra, hogy egy kockán vágható akkora lyuk, hogy egy másik ugyanolyan kockát át lehessen rajta tolni. Wallis megmutatta, hogy ez lehetséges, így a herceg megnyerte a fogadást.

Wallis feltette, hogy a lyuknak párhuzamosnak kell lennie a kocka térátlójával. Az erre az átlóra merőleges síkra vetítve a kocka képe szabályos hatszög, és a térátlóval párhuzamos legjobb lyuk az ebbe a hatszögbe írt lehető legnagyobb négyzet. Kiszámítva ennek oldalhosszát, kapjuk, hogy

$\sqrt{6}-\sqrt{2}\approx 1,03527$,

azaz az eredetinél egy kicsit nagyobb kocka átfér rajta.

Körülbelül száz év múlva a holland Pieter Nieuwland felfedezte, hogy Wallis nem a lehető legnagyobb lyukat találta meg: az optimális megoldásban a lyuk nem párhuzamos a térátlóval. Nieuwland 1794-ben meghalt, egy évvel azután, hogy professzor lett a leideni egyetemen. Eredményét mentora, Jean Henri van Swinden hozta nyilvánosságra 1816-ban.

Azóta a Rupert-féle kocka a matematikai ismeretterjesztés népszerű témájává vált, számtalan könyvben szerepel (nem ritkán a nem-optimális, Wallis-féle megoldással).

Modellek

A modellalkotást megnehezíti, hogy nagyon pontosnak kell lenni, és az, hogy a megmaradt darabok egy-egy ponton függnek össze. Emiatt a problémát szokás elméletileg lehetségesnek, de gyakorlatilag lehetetlennek mondani. Ezzel szemben 1950-ben D. J. E. Schrek fényképeket adott ki egy kockamodellről, amely egy másik kockába vágott lyukba illeszkedett. Martin Raynsford egy sablonnal tervezett modelleket, azonban ezeken a modelleken a lyuk jóval kisebb, mint az a kocka, aminek át kellene rajta haladnia.

Általánosítások

A kocka nem az egyetlen test, ami át tud haladni saját másolatán. Hasonlók igazak a szabályos tetraéderre és oktaéderre is.

A probléma egy másik megfogalmazása a legnagyobb négyzetet keresi a kockában. Általánosabban, Sablon:Harvtxt megmutatta, hogyan lehet megtalálni a lehető legnagyobb rögzített oldalarányú téglalapot. Ezek a téglalapok mind átmennek a kocka középpontján, és csúcsaik a kocka éleire illeszkednek. Innen kiindulva megmutatták, hogy a téglalap vagy abban a síkban fekszik, amely átlósan átmegy a kocka négy csúcsán, vagy a Rupert-féle kockához hasonlóan, egy egyenlő szárú derékszögű háromszög által meghatározott két pont és szemközti párjaik lesznek a téglalap csúcsai. A legnagyobb területű téglalap egyik oldalpárja a kockának is éle, másik oldalpárja pedig a kocka lapátlója.

A kérdés más dimenziókban is feltehető, vagyis keressük a legnagyobb $m$ dimenziós hiperkockát, amely teljes egészében része egy $n$ dimenziós hiperkockának. Az arányszám mindig algebrai. Az $(m,n)=(3,4)$ eset egy kockát keres egy 4 dimenziós hiperkockában. Martin Gardner a Scientific Americanben feltett kérdésére Kay R. Pechenick DeVicci és több más olvasó belátta, hogy a (3,4) esetben ez a szám kisebb, mint a $4x^4-28x^3-7x^2+16x+16$ kisebbik gyökének a négyzetgyöke, ami megközelítőleg 1,007435. Az $m=2$ esetén a legnagyobb négyzetet keressük az $n$ dimenziós hiperkockában. Ha $n$ páros, akkor a négyzet oldala $\sqrt{\frac{n}{2}}$, ha $n$ páratlan, akkor $\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{3}{8}}$.

Külső hivatkozások

• Animált rupert-féle kocka (youtube)