Proth-számok

A számelmélet területén a François Proth matematikusról elnevezett Proth-számok a következő alakban felírható egész számok:

$N=k\cdot 2^n+1$,

ahol $k$ pozitív egész páratlan szám és $n$ pozitív egész, amire $2^n>k$. Ez utóbbi feltétel nélkül az összes 1-nél nagyobb páratlan szám Proth-szám lenne.

Az első néhány Proth-szám Sablon:OEIS:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, etc.

A Cullen-számok (n·2ⁿ+1) és a Fermat-számok (2²ⁿ+1) mind a Proth-számok speciális esetei.

Proth-prímek

Sablon:Megoldatlan A Proth-prímek olyan Proth-számok, melyek prímek. Az első néhány Proth-prím: (Sablon:OEIS2C):

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

A Proth-számok prímtesztje a Proth-tétel segítségével végezhető el, mely kimondja, hogy egy $p$ Proth-szám akkor és csak akkor prím, ha létezik olyan $a$ egész szám, amire a következő állítás igaz:

$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

A legnagyobb ismert Proth-prím (2018) $10223\cdot 2^{31172165}+1$, ami Sablon:Szám jegyű. Szabolcs Péter találta a PrimeGrid elosztott számítási projekt keretében, 2016. november 6-án jelentették be. Ez a legnagyobb ismert nem-Mersenne-prím.

Kapcsolódó szócikkek

• Sierpiński-számok
• PrimeGrid – elosztott számítási projekt nagy Proth-prímek keresésére