Poszinomiális függvény

A poszinomiális függvények a polinomok általánosításai, ahol is minden valós kitevő megengedett. Geometrikus programok megadásához használják őket.

Definíció

Legyen ${ℝ}_{++}^n:=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n|x_i>0\text{ ha }i=1,\dots ,n\}$, továbbá $c_k>0$ minden $k=1,\dots ,N$ esetén. Ekkor az

$f:{ℝ}_{++}^n\to ℝ$

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^N{c}_k{x}_1^{a_{1,k}}\cdot \dots \cdot x_n^{a_{n,k}}$

függvények poszinomiális függvények. A kitevők valósak, $a_{i,j}\in ℝ$. Ha az összeg egyetlen tagból áll, akkor monomiális függvényről van szó.

Példák

Az

$f(x_1,x_2)=\frac{\sqrt{x_1}{x}_2+x_2^{2,3}}{x_1{x}_2}$

függvény poszinomiális, normálalakja

$f(x_1,x_2)=x_1^{-0,5}+x_1^{-1}{x}_2^{1,3}$

Az

$f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^{17}{x}_2}{x_3^{\sqrt{2}}}$

függvény monomiális, normálalakja

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^{17}{x}_2{x}_3^{-\sqrt{2}}$

Tulajdonságok

• A poszinomiális függvények zártak szorzásra, összeadásra és skalárral való szorzásra.
• A monoszinomiális függvények zártak szorzásra, osztásra és skalárral való szorzásra.
• A poszinomiális függvények (konvex) kúpot alkotnak az ${ℝ}_{++}^n\to ℝ$ függvények terében. Ebben a monoszinomiális függvények részkúpot alkotnak.

Források

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. Sablon:ISBN. (online)