Poisson-tényező

Poisson-tényező ($\mu$) a szilárd testek mechanikájában használt szám. Egyirányú feszültségi állapotnál (húzott vagy nyomott rúdnál) a keresztirányú alakváltozás és a hosszirányú alakváltozás viszonya. Siméon Denis Poisson (1781-1840) francia matematikus és fizikusról kapta nevét. A Poisson-tényező dimenziónélküli mennyiség, nem jellemzi az anyag rugalmasságát vagy merevségét, csak azt a módot, ahogy alakváltozást szenved. Ha egy izotróp anyagban létezik egy m irány, amelyikben ébredő feszültség σ_m ≠ 0 (és a többi irányban a feszültség egyenlő nullával), akkor a Poisson tényező:

$\mu =\frac{{\epsilon }_n}{{\epsilon }_m}$

ahol: ε – az alakváltozás, n – tetszőleges, m-re merőleges irány.

Ha egy d átmérőjű, L hosszúságú rudat meghúzunk, úgy hogy az erő irányába ΔL értékkel megnyúlik, az átmérő csökkenését így számíthatjuk ki:

$\mathrm{\Delta }d=-d\cdot \mu \frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$

Ez a képlet kis alakváltozásoknál érvényes. Jelentősebb alakváltozásoknál az alábbi egyenlet pontosabb értéket ad (feltéve, hogy μ=const):

$\mathrm{\Delta }d=-d\cdot (1-{(1+\frac{\mathrm{\Delta }L}{L})}^{-\mu })$

A fenti képletek lehetőséget adnak a Poisson-tényező közvetlen mérésére statikus szakítópróba segítségével, bár a fellépő kis alakváltozások nem tesznek lehetővé pontos méréseket.

A Poisson tényezővel lehet kifejezni az összefüggést az E rugalmassági modulus és a G nyírási rugalmassági modulus között:

$G=\frac{E}{2(1+\mu )}$

A ΔV/V fajlagos térfogatváltozás egyirányú feszültségállapot alatt az alábbi képlettel számítható:

$\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}=(1-2\mu )\frac{\mathrm{\Delta }l}{l}$.

A Poisson tényező értékére fennáll (kivétel az auxetikus anyagok):

$0<\mu <\frac{1}{2}$

$\mu =0,5$ esetén az alakváltozásnál a test térfogata nem változik. A szokásos anyagoknál a Poisson-tényező 0,1 és 0,4 közötti értéket vesz fel. Néhány anyag Poisson-tényezője:

• ideális folyadék 0,5
• reális folyadék (víz) 0,499
• Alumínium: 0,33
• Acél: 0,2-0,33
• Beton: 0,2
• Ólom: 0,45
• Sárgaréz: 0,37
• Üveg: 0,23
• SiC: 0,17
• Si₃N₄: 0,25
• fa: 0,21

Kapcsolata más rugalmas jellemzőkkel

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	$(\lambda ,G)$	$(E,G)$	$(K,\lambda )$	$(K,G)$	$(\lambda ,\nu )$	$(G,\nu )$	$(E,\nu )$	$(K,\nu )$	$(K,E)$	$(M,G)$
$K=$	$\lambda +\frac{2G}{3}$	$\frac{EG}{3(3G-E)}$			$\frac{\lambda (1+\nu )}{3\nu }$	$\frac{2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}$	$\frac{E}{3(1-2\nu )}$			$M-\frac{4G}{3}$
$E=$	$\frac{G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}$		$\frac{9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }$	$\frac{9KG}{3K+G}$	$\frac{\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }$	$2G(1+\nu )$		$3K(1-2\nu )$		$\frac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda =$		$\frac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\frac{2G}{3}$		$\frac{2G\nu }{1-2\nu }$	$\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$	$\frac{3K\nu }{1+\nu }$	$\frac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M-2G$
$G=$			$\frac{3(K-\lambda )}{2}$		$\frac{\lambda (1-2\nu )}{2\nu }$		$\frac{E}{2(1+\nu )}$	$\frac{3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}$	$\frac{3KE}{9K-E}$
$\nu =$	$\frac{\lambda }{2(\lambda +G)}$	$\frac{E}{2G}-1$	$\frac{\lambda }{3K-\lambda }$	$\frac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\frac{3K-E}{6K}$	$\frac{M-2G}{2M-2G}$
$M=$	$\lambda +2G$	$\frac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda$	$K+\frac{4G}{3}$	$\frac{\lambda (1-\nu )}{\nu }$	$\frac{2G(1-\nu )}{1-2\nu }$	$\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}$	$\frac{3K(1-\nu )}{1+\nu }$	$\frac{3K(3K+E)}{9K-E}$