Papposz–Guldin-tétel

Forgásfelület területének számításához

A Papposz–Guldin-tétel két tétel neve, melyek az alexandriai Papposz és Paul Guldin svájci matematikus nevéhez fűződnek. A tétel segítségével forgástestek térfogata és forgásfelületek felszíne számítható ki.

Az első tétel

Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága s. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. A görbe C súlypontjának távolsága a t tengelyől r_s. Az első tétel kijelenti, hogy egy síkgörbe megforgatásával nyert forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe s ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának (körív) szorzatával:

$F=s\cdot r_s\cdot \alpha$

Itt

$r_s$ a görbe súlypontjának távolsága a t tengelytől,

$\alpha$ pedig a megforgatás szöge.

Például az r sugarú kört a súlypontja körül R sugarú körön megforgatva származtatott tórusz felszíne:

$F=(2\pi r)(2\pi R)=4{\pi }^{2}Rr.$

Forgástest térfogatának számításához

A csmásodik tétel

egyenegyA területű síkidom, és egy t gyenesvele egy síkban, mely nmetszi a sílllllkidomot. Ha ahaaa kidomot at egyenes mint tengely körülα szöggel élfógatjuk, egyVtérfogatúforgástestet súrol. Aíkidomsúlypontjánakolságaengelytől R_s. nnekaorgástestneérfogatayenlaidom területéneksúlypontpályájaíosszának szorzatával:

V=A×2pí×xc

Afentidaszánakrfogatahát:

$V=(\pi r^2)(2\pi R)=2{\pi }^{2}R{r}^2.$

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve, 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.