Nonkotóciens számok
A matematika, azon belül a számelmélet területén a nonkotóciens számok olyan pozitív egész n számok, melyek nem fejezhetők ki valamely m pozitív egész szám és a nála kisebb relatív prímek számának különbségeként, így értéke megegyezik az Sablon:Mvar-nél nem nagyobb, Sablon:Mvar-nel legalább egy közös prímtényezővel bíró számokéval.
Tehát az m − φ(m) = n egyenletnek, ahol φ az Euler-függvény, nincs megoldása m-re. Az n szám kotóciense éppen Sablon:Math, tehát egy nonkotóciens olyan szám, ami soha nem fordul elő kotóciensként.
Úgy sejtik, hogy az összes nonkotóciens szám páros. Ez a Goldbach-sejtés egy erősebb formájából következik: ha az n páros szám kifejezhető p és q különböző prímszámok összegeként, akkor
Várhatóan minden 6-nál nagyobb páros szám kifejezhető két különböző prímszám összegeként, amiből az következne, hogy egyetlen 5-nél nagyobb prímszám sem nonkotóciens. A fennmaradó páratlan számokat a következő megfigyelések fedik le: és .
Páros számokra megmutatható, hogy:
Tehát minden olyan n páros szám kotóciens, amire igaz, hogy n+2 felírható (p+1)·(q+1) alakban, ahol p és q prímek.
Az első néhány nonkotóciens szám:
- 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490 ... Sablon:OEIS
Az n számok kotóciens értékei (n = 0-tól kezdve)
- 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... Sablon:OEIS
A legkisebb k egész szám, amire k kotóciense éppen n (kezdve n = 0-val, 0, ha nem létezik ilyen k):
- 0, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... Sablon:OEIS
A legnagyobb k egész szám, amire k kotóciense éppen n (kezdve n = 0-val, 0, ha nem létezik ilyen k):
- 1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... Sablon:OEIS
Az olyan k-k száma, melyre k-φ(k) éppen n (n = 0-tól kezdve):
- 2, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... Sablon:OEIS
Erdős (1913-1996) és Sierpinski (1882-1969) fogalmazták meg a kérdést, hogy vajon végtelen sok nonkotóciens szám létezik-e. Ezt végül Browkin és Schinzel (1995) erősítették meg, akik megmutatták, hogy a végtelen számcsalád példa ezekre (lásd Riesel-számok). Azóta több, hasonló formában felírt végtelen számcsaládot találtak, lásd Flammenkamp and Luca (2000).
Jegyzetek