Naiv halmazelmélet

Története

A halmazelmélet alapjait Georg Cantor rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a valós számok nem megszámlálhatóan végtelen voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, … is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban, ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége „magasabbrendűen” (nem megszámlálható módon) végtelen, mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt, ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen számosságok elméletét. Az összességre a Menge német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a halmaz szót használják matematikai szakkifejezésként.

Eredményeit Dedekind, Frege és Russell is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a Russell-paradoxon) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor – ahogy rajta kívül sokan mások is – felfedezett egy ellentmondást, ezt Cantor-paradoxon néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a típuselméletben), Zermelo és Fraenkel (a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben) és az intuicionisták a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet és a Bourbaki-halmazelmélet).

A naiv halmazelmélet kiindulópontja

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha $T$ valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a $T$ tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a $T$ tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

Jelölés

Magát a $T$ tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy $T(x)$. Itt az $x$ karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a $T(x)$ kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az $x$ változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A $T(x)$ tulajdonság igazságtartományát

$\{x\mid T(x)\}$

-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon $x$-ek összessége, melyre a $T(x)$ tulajdonság igaz”.

Példa

Legyen $T$ : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban $T(x):$ „$x$ kutya”. Ekkor „$x$ kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az $x$ változó helyére például $Buksi$, a kutya vagy $Cirmi$, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor $T(Buksi)$ egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg $T(Cirmi)$ nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:

$\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x\text{ kutya}\}$

Ki nem mondott feltételezések

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:

1. A komprehenzivitás elve: akármilyen $T(x)$ tulajdonság esetén, az $x$ változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { $x$ | $T(x)$ } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a $T(x)$ tulajdonságot.
2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megegyeznek.

Cantor a Menge, azaz halmaz szót használta a { $x$ | $T(x)$ } összesség megnevezésére. Ha valamely $a$ dolog benne van a { $x$ | $T(x)$ } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: $a$ ∈ { $x$ | $T(x)$ }.

Az ellentmondás

A Russell-paradoxon feloldását mások máshogy képzelték. Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dolgokat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására. Mivel az $x\notin x$ kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a $x\notin x$ kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

$R=\{x\mid x\notin x\}$ azaz

$x\in R\iff x\notin x$, így $x$-ben saját magát $R$-et szerepeltetve:

$R\in R\iff R\notin R$

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

Források

• Robert Goldblatt, TOPOI – The categorical analysis of logic, North-Holland Publ. Co., 1984 elektronikus könyvtári formában itt
• Ruzsa Imre – Máté András, Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó, 1997.
• Gottlob Frege, Az aritmetika alaptörvényei II., Utószó (1903), in: Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások – Válogatott tanulmányok, szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.