Négyzetgyök 3

A √3 kiszerkesztése hatszögben

A √3 kockában

A négyzetgyök három az a pozitív szám, amelynek négyzete 3, jele $\sqrt{3}.$

A szám egy irracionális szám, tehát tizedes törtként felírva nem szakaszos, végtelen tört; az első néhány számjegye: 1,73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580...

Irracionális voltának bizonyítása

Tételezzük fel, hogy √3 racionális. Ebben az esetben felírható $\frac{m}{n}$ formában, ahol n és m természetes szám és a tört irreducibilis (tovább már nem egyszerűsíthető). Mivel a feltételezésből adódik: $m^2=3n^2$, az előző egyenlet átírható: $\frac{m}{n}=\frac{3n-m}{m-n}$, ami ellentmondás, hiszen ennek a törtnek a nevezője kisebb, mint az $\frac{m}{n}$ törté, márpedig az irreducibilis volt. (m – n < n, mert m < 2n, hiszen m = √3n < 1,8n.)

Értéke

Kettes számrendszerben: 1,1011101101100111101...

Tízes számrendszerben: 1,732050807568877...

Tizenhatos számrendszerben: 1,BB67AE8584CAA73B...

Közelítése lánctörttel: $1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\dots }}}}}$

Kifejezése szögfüggvényekkel

A $\sqrt{3}$ több nevezetes szög szögfüggvényeinek értékében is megjelenik.

• $\sqrt{3}=(4{\cos }^2\frac{\pi }{12})-2$
• $\sqrt{3}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$

Alkalmazása

3 fázisú feszültségrendszer

• A háromdimenziós kocka testátlójának és élének aránya.
• Szabályos hatszög egymással szemközti oldalainak távolsága és a hatszög oldalának aránya.
• Az egyenlő oldalú háromszög magasságának és oldalának aránya $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Háromfázisú elektromos rendszerekben a vonali és a fázisfeszültség aránya √3.

Kapcsolódó szócikkek

Négyzetgyök 2