Modus ponens

A modus ponens, más néven a leválasztás szabálya a matematikában egy egyszerű bizonyítási módszer. Ennek alkalmazásával már bizonyított állításokból és tételekből következtethetünk újabb kijelentések igazságtartalmára.

A szabály

Legyen Γ valamely ítéletek összessége, $𝒜$ pedig ebből levezethető állítás. Ekkor ha $𝒜\Rightarrow ℬ$ is levezethető (azaz igaz), akkor $ℬ$ szintén levezethető állítás.

Bizonyítás

Legyen az $𝒜$ levezetése az $({𝒜}_1,{𝒜}_2,{𝒜}_3\dots {𝒜}_n)$ sorozat, ahol minden egyes tag vagy axióma, vagy pedig ${𝒜}_j\equiv {𝒜}_i\Rightarrow {𝒜}_k,1\le i,j<k$ következtetés. Hasonlóan az $𝒜\Rightarrow ℬ$ levezetése a $({ℬ}_1,{ℬ}_2,{ℬ}_3,\dots {ℬ}_m)$. Ekkor $ℬ$ levezetése az $({𝒜}_1,{𝒜}_2,{𝒜}_3,\dots {𝒜}_n,{ℬ}_1,{ℬ}_2,{ℬ}_3\dots {ℬ}_m,ℬ)$, mivel ${ℬ}_m\equiv (𝒜\Rightarrow ℬ)$.