Megszüntethető szingularitás

Másodfokú függvény grafikonja (parabola) megszüntethető szingularitással az x = 2 helyen

A komplex analízisben egy holomorf függvény megszüntethető szingularitása egy pont, ahol a függvény nincs definiálva, de ki lehetne terjeszteni a függvényt úgy, hogy értelmezve legyen ebben a pontban, és reguláris maradjon.

Például a (nem normalizált) sinc függvénynek:

$\text{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z}$

megszüntethető szingularitása van nullában, a megfelelő érték sinc(0) := 1. Ez a sincfüggvény határértéke, ha változója, z tart a nullához. A kibővített függvény holomorf. A probléma abból fakadt, hogy a függvényt határozatlan formában adták meg. A $\frac{\sin (z)}{z}$ hatványsora:

$\text{sinc}(z)=\frac{1}{z}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\cdots .$

Formálisan, ha $U\subset ℂ$ nyílt részhalmaza a komplex síknak, $a\in U$ komplex szám $U$-ban, és $f:U\setminus \{a\}\to ℂ$ holomorf, akkor $a$ $f$ megszüntethető szingularitása, hogyha van egy $g:U\to ℂ$ függvény, ami megegyezik $f$-fel ott, ahol az definiálva van. Azt mondjuk, hogy $f$ holomorf módon kiterjeszthető $U$-ra, ha létezik ilyen $g$ függvény.

Riemann-tétel

Riemann tétele a megszüntethető szingularitásokról:

Legyen $G\subseteq ℂ$ tartomány, és $z_0\in G$, továbbá $f:G\setminus \{z_0\}\to ℂ$ holomorf függvény. Ekkor, ha van $z_0$-nak egy $U$ környezete $G$-ben úgy, hogy $f$ korlátos $U\setminus \{z_0\}$-ban, akkor egyértelműen van egy $\tilde{f}$ egészfüggvény, hogy $\tilde{f}{|}_{G\setminus \{z_0\}}=f$. $\tilde{f}$ egyértelműségét a holomorf függvények identitástétele biztosítja.

Sőt, a tétel egy másik megfogalmazása:

Legyen $D\subset ℂ$ a komplex sík nyílt részhalmaza, $a\in D$ komplex szám $D$-ben, és $f$ holomorf $D\setminus \{a\}$-ban. A következők ekvivalensek:

1. $f$ kiterjeszthető holomorf módon $a$-ra.
2. $f$ folytonosan kiterjeszthető $a$-ra.
3. Van $a$-nak környezete, ahol $f$ korlátos.
4. $\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=0$.

A tétel megfordítása

A tétel megfordítása ez:

Ha $f$ holomorf függvény $z_0$ egy környezetében, és $z_0$ megszüntethető szingularitás, akkor korlátos $z_0$ egy környezetében.

A megfordítás a folytonosság következménye. Ez különbözteti meg a megszüntethető szingularitást a többi szingularitástól, a lényeges szingularitástól és a pólustól.

Alkalmazása

A tétel felhasználható további bizonyításokhoz. Például belátható vele, hogy nincs a pontozott komplex síkon holomorf négyzetgyök függvény. Formálisan, nincs olyan a $ℂ\setminus \{0\}$ halmazon holomorf $f$ függvény, amikre $f(z{)}^2=z$ minden $z\ne 0$ esetén.

Indirekt feltéve, hogy mégis, abszolútértékére ekkor teljesül $|f(z)|=\sqrt{|z|}$. Eszerint $f$ korlátos $0$ egy környezetében, tehát a Riemann-tétel szerint kiterjeszthető teljes $ℂ$-re holomorf módon. Ez azt is jelenti, hogy itt $f$ folytonosan differenciálható, és deriváltja $f^{\prime }(0)$.

Az identitástétel miatt $f$-nek és deriváltjának meg kell egyeznie $x\in {ℝ}^{+}$-ban. Azonban itt a deriváltnak a 0-hoz közeledve minden határon túl kell nőnie, így a határérték nem létezhet:

$\underset{x\searrow 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\searrow 0}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{x}}=\mathrm{\infty }\ne f^{\prime }(0)$