Lényeges szingularitás

A komplex analízisben egy függvény lényeges szingularitása egy erős szingularitás, azaz olyan hely, aminek közelében a függvény furcsán viselkedik. A viselkedést analitikus esetben a nagy Picard-tétel írja le. A szingularitások harmadik fajtája a megszüntethető szingularitás és a pólus mellett.

Formális leírás

Az exp(1/z) lényeges szingularitása nullában. A szín az érték komplex argumentumát, fényessége az abszolútértéket jelöli. A lényeges szingularitás különböző irányokból megközelítve különböző viselkedést mutat

A 6w=exp(1/(6z)) komplex függvény lényeges szingularitását illusztráló modell

Legyen U a C nyílt részhalmaza, és a az U egy eleme, továbbá f : U \ {a} → C holomorf függvény. Az a pont lényeges szingularitása az f függvénynek, ha szingularitása, de nem megszüntethető és nem is pólus.

Például az f(z) = e^1/z függvénynek lényeges szingularitása van a z = 0 helyen.

Alternatív megfogalmazás

A következőkben a komplex szám, és az f(z) függvény nem értelmezhető a-ban, de egy U környezetében igen; továbbá a minden környezetének nem üres a metszete U-val.

Ha a :$\underset{z\to a}{\lim }f(z)$   és   $\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)}$  határértékek egyike sem létezik, akkor a szingularitás lényeges.

Holomorf esetben a lényeges szingularitás környékén a Casorati–Weierstrass-tétel és a nagy Picard-tétel szerint viselkedik. Ezek azt mondják ki, hogy a lényeges szingularitás minden környezetében legfeljebb egy kivétellel minden érték fel van véve, mégpedig végtelenszer.

A lényeges szingularitás jellemzője, hogy a szingularitás körüli Laurent-sornak végtelen sok negatív fokú tagja van, azaz a lényegi rész végtelen sok tagból áll. Egy kapcsolódó definíció szerint ha van egy $a$ pont, ahol az $f(z)(z-a{)}^n$ egyik deriváltja sem konvergál egy határértékhez, ha $z$ tart $a$-hoz, akkor $a$ lényeges szingularitása az $f(z)$ függvénynek.

Források

• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. Sablon:ISBN