Majdnem prímek

A számelméletben egy természetes szám majdnem prím (almost prime), ha létezik olyan K konstans, hogy a számnak legfeljebb K prímtényezője van. Egy n majdnem prímet jelölje P_r, amennyiben n prímtényezőinek száma multiplicitással számolva legfeljebb r. Egy természetes számot akkor nevezünk k-majdnem prímnek, ha pontosan k prímtényezővel rendelkezik, multiplicitással számolva. Formálisabban, egy n természetes szám akkor és csak akkor k-majdnem prím, ha ν(n) = k, ahol ν(n), azaz nű(n) az n prímtényezős felbontásában található prímek száma, multiplicitással számolva:

$\nu (n):=\sum a_i\text{ha}n=\prod p_i^{a_i}.$

Egy természetes szám tehát akkor prím, ha 1-majdnem prím és akkor félprím, ha 2-majdnem prím. A k-majdnem prímek halmazát általában P_k jelöli. A legkisebb k-majdnem prím mindig 2^k. Az első néhány k-majdnem prím:

k	k-majdnem prímek	OEIS-sorozat
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	Sablon:OEIS link
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	Sablon:OEIS link
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	Sablon:OEIS link
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	Sablon:OEIS link
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	Sablon:OEIS link
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	Sablon:OEIS link
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	Sablon:OEIS link
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	Sablon:OEIS link
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	Sablon:OEIS link
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	Sablon:OEIS link
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	Sablon:OEIS link
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	Sablon:OEIS link
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	Sablon:OEIS link
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	Sablon:OEIS link
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	Sablon:OEIS link
16	65536, 98304, 147456, …	Sablon:OEIS link
17	131072, 196608, 294912, …	Sablon:OEIS link
18	262144, 393216, 589824, …	Sablon:OEIS link
19	524288, 786432, 1179648, …	Sablon:OEIS link
20	1048576, 1572864, 2359296, …	Sablon:OEIS link

Az n-nél nem nagyobb, legfeljebb k (nem feltétlenül különböző) prímtényezővel rendelkező π_k(n) egész számok száma aszimptotikusan:

${\pi }_k(n)\sim \left(\frac{n}{\log n}\right)\frac{(\log \log n{)}^{k-1}}{(k-1)!},$

ami Landau eredménye. Lásd még: Hardy–Ramanujan-tétel.

További információk

• Sablon:MathWorld